a) Ta có các tam giác đồng dạng \(ABH\) và \(ACH\) (theo góc vuông), do đó:

\[
\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BH}}{{CH}} \quad (1)
\]

Từ tam giác \(ABF\) và \(HCF\), ta có:

\[
\frac{{AF}}{{FC}} = \frac{{AB}}{{CH}} \quad \text{(do \(ABHF\) là tứ giác nội tiếp)}
\]

\[
\frac{{HF}}{{FC}} = \frac{{BH}}{{AC}} \quad \text{(vì \(ABH\) và \(ACH\) đồng dạng)}
\]

Nhân cả hai phương trình lại với nhau:

\[
\frac{{AF \cdot HF}}{{FC^2}} = \frac{{AB \cdot BH}}{{AC \cdot CH}}
\]

\[
\frac{{AF}}{{FC}} \cdot \frac{{HF}}{{FC}} = \frac{{AB \cdot BH}}{{AC \cdot CH}}
\]

\[
FA \cdot FH = \frac{{AB \cdot BH}}{{AC}} \quad (2)
\]

Từ (1) và (2), ta suy ra: \(FA \cdot BH = FH \cdot AC\).

b) Vì \(I\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(AI = IC\).

Gọi \(K\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(I\).

Ta có \(IK = IH\) và \(\angle KIH = \angle HIC = \angle FHB = \angle FAH\).

Do đó, \(AK\) là đường trung trực của \(IH\), nên \(AK \perp IH\).

Từ \(FA \cdot BH = FH \cdot AC\) (đã chứng minh ở câu a)), ta thấy rằng tam giác \(AFH\) và \(BHC\) đồng dạng với nhau theo ĐTL.

Vậy \(AK \perp BC\) và \(AKC\) cùng vuông góc với \(AAHF\).

c) Vì \(AK \perp BC\) và \(AK\) cắt \(HC\) tại \(O\), ta có \(O\) là trung điểm của \(HC\), do đó \(AO = OC\).

Vì \(I\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(AO = IO\), nên \(IO = OC\).

Vậy, \(I\) là trung điểm của \(HC\), do đó \(IH \parallel AB\).

Gọi \(M\) là giao điểm của \(EF\) và \(OM\), ta có \(OM\) song song với \(EF\), nên \(\frac{{AM}}{{MC}} = \frac{{IH}}{{HO}} = 1\), do \(I\) là trung điểm của \(HC\), nên \(AM = MC\).

Do đó, \(M\) là trung điểm của \(AC\), và \(HM\) là đường trung trực của \(AC\), nên \(HM \perp AC\), hay \(HM \parallel AD\).