Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đây là một bài toán về hình học và tỉ lệ đại số trong tam giác vuông.

a) Để chứng minh \( CM : AB = BI : BK = BH : BC \), ta có thể sử dụng định lí Thales và định lí Euclid.

Ta biết \( AI \) là đường cao nên \( \angle ABI = 90^\circ \). Do đó, \( AB \parallel CK \) (vì \( \angle ABK = 90^\circ \)).

Từ đó, theo định lí Euclid, ta có:

\( \frac{CM}{AM} = \frac{CK}{KB} = \frac{BI}{BK} \) (vì \( AI \) là đường cao nên \( AM = AH - CM = AH - CK \))

\( \frac{AM}{AB} = \frac{CM}{CB} \) (vì \( AB \parallel CK \) nên \( \angle AMB = \angle ABC \) và \( \angle MAC = \angle CKB \))

Từ \( \frac{CM}{AM} = \frac{BI}{BK} \) và \( \frac{AM}{AB} = \frac{CM}{CB} \), ta suy ra \( CM : AB = BI : BK \).

Và vì \( \angle ABC = 90^\circ \) nên \( AB = BH \), vì vậy \( CM : AB = BH : BC \).

b) Để chứng minh \( A \) là trung điểm của \( MH \), ta chứng minh \( AM = CM \).

Ta biết \( I \) là trung điểm của \( AH \), do đó \( AM = MI \).

Ta cũng biết \( CK \) là đường cao trong tam giác \( ABC \), do đó \( CM = CK \).

Nhưng từ phần a), chúng ta đã biết \( CK = AM \).

Vậy \( AM = CM \), từ đó suy ra \( A \) là trung điểm của \( MH \).

...Xem thêm

Answer 2