a. Để chứng minh \( \Delta HBA \sim \Delta IDB \), ta cần chứng minh các góc của hai tam giác này tương đồng.

Các góc của \( \Delta HBA \):
- Góc \( H \) là góc vuông (vì \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) trên \( BD \)).
- Góc \( A \) là góc trong.

Các góc của \( \Delta IDB \):
- Góc \( I \) là góc vuông (vì \( I \) là hình chiếu vuông góc của \( B \) trên \( DC \)).
- Góc \( B \) là góc trong.

Vì cả hai tam giác đều có một góc vuông và một góc trong, nên chúng tương đồng theo góc-góc-góc. Do đó, \( \Delta HBA \sim \Delta IDB \).

b. Ta có thể chứng minh \( DA \cdot DK = DH \cdot DB \) bằng cách sử dụng tỷ lệ của các đường cao trong hai tam giác tương tự \( \Delta HBA \) và \( \Delta IDB \). Vì \( \Delta HBA \sim \Delta IDB \), ta có:

\[
\frac{DA}{DI} = \frac{DB}{DH} \Rightarrow DA \cdot DH = DI \cdot DB
\]

Tuy nhiên, ta cũng có \( DI = DK \) (vì \( D \), \( K \), \( I \) thẳng hàng), do đó:

\[
DA \cdot DK = DI \cdot DB = DH \cdot DB
\]

c. Ta có thể chứng minh phần c này bằng cách sử dụng định lý Ptolemy trong tứ giác \( ABDC \). Định lý Ptolemy cho biết:

\[
AB \cdot DC + BC \cdot DA = AC \cdot BD
\]

Nhưng vì \( AB = DC \) và \( BC = AD \), nên:

\[
DA \cdot DC + DA \cdot DK = BD^2
\]

Và từ bước b, ta biết \( DA \cdot DK = DH \cdot DB \), do đó:

\[
DA \cdot DH + DA \cdot DK = BD^2
\]

Kết hợp hai phương trình trên, ta có:

\[
DA \cdot DK + DI \cdot DC = BD^2
\]

a. Để chứng minh \( \Delta HBA \sim \Delta IDB \), ta cần chứng minh các góc của hai tam giác này tương đồng.

Các góc của \( \Delta HBA \):
- Góc \( H \) là góc vuông (vì \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) trên \( BD \)).
- Góc \( A \) là góc trong.

Các góc của \( \Delta IDB \):
- Góc \( I \) là góc vuông (vì \( I \) là hình chiếu vuông góc của \( B \) trên \( DC \)).
- Góc \( B \) là góc trong.

Vì cả hai tam giác đều có một góc vuông và một góc trong, nên chúng tương đồng theo góc-góc-góc. Do đó, \( \Delta HBA \sim \Delta IDB \).

b. Ta có thể chứng minh \( DA \cdot DK = DH \cdot DB \) bằng cách sử dụng tỷ lệ của các đường cao trong hai tam giác tương tự \( \Delta HBA \) và \( \Delta IDB \). Vì \( \Delta HBA \sim \Delta IDB \), ta có:

\[
\frac{DA}{DI} = \frac{DB}{DH} \Rightarrow DA \cdot DH = DI \cdot DB
\]

Tuy nhiên, ta cũng có \( DI = DK \) (vì \( D \), \( K \), \( I \) thẳng hàng), do đó:

\[
DA \cdot DK = DI \cdot DB = DH \cdot DB
\]

c. Ta có thể chứng minh phần c này bằng cách sử dụng định lý Ptolemy trong tứ giác \( ABDC \). Định lý Ptolemy cho biết:

\[
AB \cdot DC + BC \cdot DA = AC \cdot BD
\]

Nhưng vì \( AB = DC \) và \( BC = AD \), nên:

\[
DA \cdot DC + DA \cdot DK = BD^2
\]

Và từ bước b, ta biết \( DA \cdot DK = DH \cdot DB \), do đó:

\[
DA \cdot DH + DA \cdot DK = BD^2
\]

Kết hợp hai phương trình trên, ta có:

\[
DA \cdot DK + DI \cdot DC = BD^2
\]