Để tìm phương trình của đường tròn tiếp xúc với đường thẳng đã cho, trước tiên chúng ta cần tìm tọa độ của điểm tiếp xúc của đường tròn và đường thẳng.

1. Tìm tọa độ của điểm tiếp xúc:
- Đường tròn có tâm là \(I(2, -5)\).
- Để tìm tọa độ của điểm tiếp xúc, ta cần tìm véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng và sử dụng nó để tìm điểm tiếp xúc.
- Phương trình đường thẳng đã cho là: \(\delta: -3x + 4y + 11 = 0\). Đưa nó về dạng chuẩn là \(4y = 3x - 11\) hoặc \(y = \frac{3}{4}x - \frac{11}{4}\).
- Véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng là \(\vec{n} = (-3, 4)\).
- Để tìm điểm tiếp xúc, ta cần tìm điểm cách đường thẳng một khoảng bằng bán kính của đường tròn và nằm trên đường thẳng pháp tuyến với đường thẳng tại điểm tiếp xúc.
- Khoảng cách từ một điểm \((x_0, y_0)\) đến một đường thẳng có phương trình \(Ax + By + C = 0\) được tính bằng công thức:
\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]
- Áp dụng công thức này với điểm \((x_0, y_0)\) là tọa độ của tâm đường tròn \(I(2, -5)\), ta có:
\[d = \frac{|-3 \cdot 2 + 4 \cdot (-5) + 11|}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2}}\]
\[= \frac{|-6 - 20 + 11|}{\sqrt{9 + 16}}\]
\[= \frac{|-15|}{\sqrt{25}}\]
\[= \frac{15}{5}\]
\[= 3\]
- Khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng là 3 đơn vị, do đó, bán kính của đường tròn cũng là 3 đơn vị.
- Điểm tiếp xúc cách tâm đường tròn 3 đơn vị theo phương trình đường thẳng pháp tuyến, nên nó có tọa độ là \(I + 3\vec{n}\):
\[x_t = 2 - 3 \times 3 = 2 - 9 = -7\]
\[y_t = -5 + 4 \times 3 = -5 + 12 = 7\]
- Vậy, tọa độ của điểm tiếp xúc là \((-7, 7)\).

2. Viết phương trình đường tròn:
- Từ tọa độ của tâm \(I(2, -5)\) và bán kính \(r = 3\), phương trình đường tròn có dạng:
\[(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = r^2\]
\[(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 3^2\]
\[(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 9\]

Vậy, phương trình của đường tròn tiếp xúc với đường thẳng \(\delta: -3x + 4y + 11 = 0\) là:
\[(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 9\]

Để tìm phương trình của đường tròn tiếp xúc với đường thẳng \( \delta: -3x + 4y + 11 = 0 \) và có tâm \( I(2, -5) \), chúng ta cần sử dụng tính chất về tiếp xúc của đường tròn và đường thẳng.

Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng tại một điểm nào đó nằm trên đường thẳng và có tâm nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi đường thẳng và đường tâm của đường tròn.

Để tìm tâm của đường tròn, ta sử dụng điểm tâm \( I(2, -5) \).

Vì đường tâm của đường tròn nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi đường thẳng và đường tâm của đường tròn, nên vị trí của tâm của đường tròn sẽ là điểm giao điểm của đường phân giác của góc đó với đường thẳng \( \delta \).

Đường phân giác của góc là đường thẳng đi qua tâm \( I \) và vuông góc với đường thẳng \( \delta \).

Để tìm phương trình của đường phân giác này, ta cần tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng \( \delta \), sau đó sẽ lấy vectơ pháp tuyến này làm vectơ hướng của đường phân giác.

Phương trình của đường thẳng \( \delta \) đã cho là \( -3x + 4y + 11 = 0 \).

Suy ra, vectơ pháp tuyến của đường thẳng \( \delta \) là \( \vec{n} = (-3, 4) \).

Vectơ này cũng sẽ là vectơ hướng của đường phân giác.

Điều này đồng nghĩa với việc tìm một điểm nằm trên đường thẳng qua tâm \( I \) và có vectơ pháp tuyến là \( \vec{n} \).

Để làm điều này, ta sẽ dùng công thức chuyển từ dạng điểm-pháp tuyến sang phương trình đường thẳng:

\[ (x - x_0) n_x + (y - y_0) n_y = 0 \]

Thay \( x_0 = 2 \), \( y_0 = -5 \), \( n_x = -3 \), \( n_y = 4 \) vào công thức ta sẽ được phương trình đường thẳng phân giác của góc tạo bởi \( \delta \) và \( I \).

\[ (-3)(x - 2) + (4)(y + 5) = 0 \]
\[ -3x + 6 + 4y + 20 = 0 \]
\[ -3x + 4y + 26 = 0 \]

Vậy phương trình đường phân giác của góc tạo bởi \( \delta \) và \( I \) là \( -3x + 4y + 26 = 0 \).

Tiếp theo, để tìm điểm giao điểm của đường phân giác này với đường thẳng \( \delta \), ta giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
-3x + 4y + 26 = 0 \\
-3x + 4y + 11 = 0
\end{cases}
\]

Từ đây ta tính được điểm giao điểm là \( (x, y) = (-15, -4) \).

Vậy tâm của đường tròn là \( (-15, -4) \).

Sau khi đã biết tâm của đường tròn, để tìm bán kính ta chỉ cần tính khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng \( \delta \), và bán kính của đường tròn chính là khoảng cách này.

Để tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, ta sử dụng công thức:

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Với \( Ax + By + C = 0 \) là phương trình đường thẳng và \( (x_0, y_0) \) là tọa độ của điểm.

Áp dụng công thức cho điểm \( (-15, -4) \) và đường thẳng \( \delta: -3x + 4y + 11 = 0 \), ta có:

\[ d = \frac{|(-3)(-15) + 4(-4) + 11|}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2}} \]
\[ = \frac{|45 -