Để chứng minh các điều cần thiết, chúng ta sẽ sử dụng các quy tắc cơ bản của hình học tam giác và đường cao.

a) **Chứng minh EB vuông góc với DF**:

Vì \(EB\) là đoạn thẳng nối điểm \(E\) và \(B\), và \(FC\) là đường cao của tam giác \(DEF\), ta có thể sử dụng tính chất của đường cao để chứng minh \(EB\) vuông góc với \(DF\).

Đường cao từ đỉnh \(E\) của tam giác \(DEF\) cắt \(DF\) tại \(H\), nên \(EH\) là đường cao của tam giác \(DEF\). Theo định lí, nếu ta có một tam giác vuông và vẽ một đường từ đỉnh vuông góc xuống cạnh đối diện, thì đường đó sẽ là đường cao của tam giác đó.

Vậy, ta có \(EB \perp DF\).

b) **Chứng minh BH là phân giác của góc ABC**:

Gọi \(I\) là giao điểm của \(BH\) và \(DF\). Ta cần chứng minh rằng \(BI\) chính là phân giác của góc \(ABC\).

Vì \(FC\) là đường cao của tam giác \(DEF\), \(FC\) chia \(DF\) thành hai phần bằng nhau. Vì vậy, ta có \(HD = HF\).

Do đó, tam giác \(HBI\) là tam giác cân tại \(H\). Và do \(BF = BF\), nên \(BI\) cũng là đường trung tuyến của tam giác \(DEF\), qua đó \(BI\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\). Điều này có nghĩa là \(BI\) chia góc \(ABC\) thành hai phần bằng nhau, hay \(BH\) là phân giác của góc \(ABC\).

c) **Chứng minh \(HM \cdot CF = CH \cdot FM\)**:

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác \(ABE\) và đường thẳng \(MHC\), ta có:
\[\frac{AH}{HB} \cdot \frac{BM}{ME} \cdot \frac{EC}{CA} = 1\]
Vì \(EC = CA\) (do \(EC\) và \(CA\) là hai cạnh của tam giác vuông cân \(ECA\)), ta có:
\[\frac{AH}{HB} \cdot \frac{BM}{ME} = 1\]
Từ đó, ta có:
\[AH \cdot ME = HB \cdot BM\]
Nhưng ta biết rằng \(AH \cdot ME = CH \cdot FM\) (vì \(AH = CH\) và \(ME = FM\)), và \(HB \cdot BM = EB \cdot BF\) (vì \(HB = EB\) và \(BM = BF\)).

Do đó, \(CH \cdot FM = EB \cdot BF\).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được \(HM \cdot CF = CH \cdot FM\).