Để tìm phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \( A(5;3) \), ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ của tâm đường tròn và bán kính.
2. Tính độ dốc của tiếp tuyến bằng cách tính đạo hàm của hàm số đường tròn tại điểm tiếp xúc.
3. Sử dụng độ dốc đã tính và tọa độ của điểm để tìm phương trình của tiếp tuyến.

**Bước 1:** Xác định tọa độ của tâm đường tròn và bán kính.

Đường tròn có phương trình:
\[ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25 \]

So sánh với phương trình chuẩn của đường tròn:
\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]

Ta thấy tâm đường tròn là \( (x_0, y_0) = (2, -1) \) và bán kính \( r = 5 \).

**Bước 2:** Tính độ dốc của tiếp tuyến.

Tại điểm \( A(5;3) \), đường tiếp tuyến sẽ có độ dốc bằng đạo hàm của hàm số đường tròn tại điểm \( A \).

Đạo hàm của hàm số đường tròn là:
\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{(x - x_0)}{(y - y_0)} \]

Thay vào \( (x_0, y_0) = (2, -1) \) và \( (x, y) = (5, 3) \), ta có:
\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{(5 - 2)}{(3 - (-1))} = -\frac{3}{4} \]

**Bước 3:** Tìm phương trình của tiếp tuyến.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \( A \) có dạng:
\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]

Thay vào \( (x_1, y_1) = (5, 3) \) và \( m = -\frac{3}{4} \), ta có:
\[ y - 3 = -\frac{3}{4}(x - 5) \]
\[ y - 3 = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} \]
\[ y = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} + 3 \]
\[ y = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} + \frac{12}{4} \]
\[ y = -\frac{3}{4}x + \frac{27}{4} \]

Vậy, phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \( A(5;3) \) là \( y = -\frac{3}{4}x + \frac{27}{4} \).