cho tam giác ABC vuông tại A, trên AC lấy điểm I, KẺ IH vuông góc BC , qua C kẻ đường vuông góc với BI tại K cmr BI.BK +CI.CA=BC bình phương. yêu cầu giải dễ hiểu không viết tắt sử dụng kiến thức lớp 8
Quảng cáo
2 câu trả lời 39
Để chứng minh \( BI \cdot BK + CI \cdot CA = BC^2 \) trong tam giác \( ABC \), chúng ta sẽ sử dụng định lí Py-ta-go và định lí Euclid.
Vì tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), nên theo định lí Pythagoras, ta có:
\[ BC^2 = BI^2 + CI^2 \]
Bây giờ, để giải tỏa, chúng ta cần tìm một cách biến đổi biểu thức \( BI \cdot BK + CI \cdot CA \) thành \( BC^2 \). Để làm điều đó, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác vuông và đường cao.
Ta có:
\[ \begin{cases} BI \cdot BK = \text{Diện tích tam giác } \triangle BIK \\ CI \cdot CA = \text{Diện tích tam giác } \triangle CIA \end{cases} \]
Và ta cũng biết:
\[ \begin{cases} \text{Diện tích tam giác } \triangle BIK = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot IH \\ \text{Diện tích tam giác } \triangle CIA = \frac{1}{2} \cdot CI \cdot CA \end{cases} \]
Nhưng ta cũng biết rằng:
\[ IH = BC \]
Do đó, ta có:
\[ \begin{cases} \text{Diện tích tam giác } \triangle BIK = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot BC \\ \text{Diện tích tam giác } \triangle CIA = \frac{1}{2} \cdot CI \cdot CA \end{cases} \]
Suy ra:
\[ BI \cdot BK + CI \cdot CA = 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot BK \cdot BC + \frac{1}{2} \cdot CI \cdot CA \right) = 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot (BK \cdot BC + CI \cdot CA) \right) = BC^2 \]
Vậy, ta đã chứng minh được \( BI \cdot BK + CI \cdot CA = BC^2 \).
Ta có tam giác vuông ABC tại A, từ đó có AI vuông góc với BC.
Gọi M là giao điểm của đường thẳng BI và đường vuông góc với BI qua C.
Khi đó, ta có tam giác vuông IMC vuông tại M.
Theo định lí Pythagore trong tam giác vuông IMC, ta có:
IC² = IM² + MC² (1)
Mà IM = BI, MC = BC. (vì MI vuông góc với BI và hai cạnh đối góc)
Thay vào (1), ta được: IC² = BI² + BC² (2)
Giờ ta cần chứng minh điều phải chứng minh là: BI.BK + CI.CA = BC².
Ta có:
BI.BK + CI.CA = (BI + IC)(BK + AC) (định lý nhân hai binh phương)(3)
Thay IC = √(BI² + BC²) vào (3), ta được:
= (√(BI² + BC²) + BI)(BK + AC)
= BI.BK + BI.AC + √(BI² + BC²).BK + √(BI² + BC²).AC
= BI.(BK + AC) + √(BI² + BC²).(BK + AC)
= BI.CM + BM.MC
= BC.CM ( vì BI = CI, BM = CM)
= BC² (định lí Pythagore trong tam giác vuông ICM)
Do đó, ta đã chứng minh điều cần chứng minh.
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
5 69179
-
5 31970
-
Hỏi từ APP VIETJACK6 31654
-
3 31122
-
Hỏi từ APP VIETJACK28970