Để bất phương trình \(x^2 + 2(m+2)x - 2m - 1 = 0\) vô nghiệm, điều kiện cần và đủ là hệ số \(a\) của \(x^2\) phải là dương và \(Δ < 0\), trong đó \(Δ\) là delta của phương trình bậc hai.

1. Xét điều kiện hệ số \(a\):
Trong phương trình \(x^2 + 2(m+2)x - 2m - 1 = 0\), hệ số \(a\) là \(1\), là số dương.
2. Tính delta \(Δ\):
\[Δ = b^2 - 4ac\]
Trong đó:
- \(b = 2(m+2)\)
- \(a = 1\)
- \(c = -2m - 1\)

Thay các giá trị vào, ta có:
\[Δ = (2(m+2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2m - 1)\]
\[Δ = 4(m+2)^2 + 8m + 4\]

3. Điều kiện \(Δ < 0\):
\[4(m+2)^2 + 8m + 4 < 0\]

Giải bất phương trình trên, ta được:

\[m^2 + 4m + 4 + 2m + 1 < 0\]
\[m^2 + 6m + 5 < 0\]

Đây là một bất phương trình bậc hai, để giải ta cần tìm điểm cực trị của nó.

1. Tìm đạo hàm của bất phương trình:
\[f'(m) = 2m + 6\]
2. Tìm điểm cực trị bằng cách giải phương trình \(f'(m) = 0\):
\[2m + 6 = 0\]
\[m = -3\]

Điểm cực trị là \(m = -3\).

Với \(m\) nằm trong khoảng \([-10; 5]\), để bất phương trình \(m^2 + 6m + 5 < 0\) vô nghiệm, ta cần \(m\) nằm ngoài đoạn \([-3 - 5; -3 + 5] = [-8; 2]\).

Vậy, có \(5 - (-8) + 1 = 14\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn điều kiện để bất phương trình \(x^2 + 2(m+2)x - 2m - 1 = 0\) vô nghiệm.