Để tính góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \((SBC)\), ta cần tìm góc giữa đường thẳng \(SA\) và đường thẳng \(SC\), sau đó lấy phần bù của góc \(90^\circ\).

Đầu tiên, ta cần tính độ dài của cạnh \(BC\). Vì tam giác \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) với \(AB = a \sqrt{3}\) và \(AC = a\), nên ta có:

\[BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{(a \sqrt{3})^2 - a^2} = \sqrt{3a^2 - a^2} = \sqrt{2}a\]

Tiếp theo, ta sẽ tính góc giữa \(SA\) và \(SC\). Để làm điều này, ta cần tính độ dài của đường cao \(SH\) từ \(S\) xuống đáy \(BC\).

Đặt \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(BC\), ta có \(AH = AC = a\). Do tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\), nên \(SH = SA \cdot \cos \angle BAS\). Với \(SA = \frac{a}{2}\), ta cần tính góc \(\angle BAS\).

Với \(AB = a \sqrt{3}\) và \(AC = a\), ta có \(\tan \angle BAS = \frac{AB}{AC} = \sqrt{3}\), suy ra \(\angle BAS = \arctan(\sqrt{3})\).

\[SH = SA \cdot \cos(\arctan(\sqrt{3})) = \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + (\sqrt{3})^2}} = \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{a}{4}\]

Bây giờ, ta tính góc giữa \(SA\) và \(SC\):

\[\tan \theta = \frac{SH}{SC} = \frac{\frac{a}{4}}{\sqrt{2}a} = \frac{1}{4\sqrt{2}}\]

\[\theta = \arctan \left( \frac{1}{4\sqrt{2}} \right)\]

Vậy, góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \((SBC)\) là \(\theta\), hoặc \(\arctan \left( \frac{1}{4\sqrt{2}} \right)\) trong radian. Để chuyển đổi thành đơn vị đo độ, ta có thể sử dụng công thức \(1 \text{ rad} = \frac{180}{\pi} \text{ độ}\).