Để giải bất phương trình \( \log_3(x) + \log_{11}(27) \leq 3 \), ta sẽ sử dụng tính chất của logarit.

Đầu tiên, ta sẽ chuyển vế và thay đổi cơ số của logarit để tạo thành một phương trình dễ giải:

\[
\log_3(x) + \log_{11}(27) \leq 3
\]
\[
\Rightarrow \log_3(x) + \log_{11}(3^3) \leq 3
\]
\[
\Rightarrow \log_3(x) + 3 \log_{11}(3) \leq 3
\]
\[
\Rightarrow \log_3(x) + \frac{3}{\log_{11}(3)} \leq 3
\]
\[
\Rightarrow \log_3(x) + \frac{3}{\log_{3}(11)} \leq 3
\]

Tiếp theo, ta sẽ loại bỏ logarit bằng cách đổi nó thành dạng số mũ:

\[
\log_3(x) + \frac{3}{\log_{3}(11)} \leq 3
\]
\[
\Rightarrow x + \frac{3}{\log_{3}(11)} \leq 3^3
\]
\[
\Rightarrow x + \frac{3}{\log_{3}(11)} \leq 27
\]
\[
\Rightarrow x \leq 27 - \frac{3}{\log_{3}(11)}
\]

Bây giờ ta đã có phương trình với một \(x\) đơn giản. Ta có thể tính giá trị của \(x\) và tính tổng các nghiệm nguyên của nó.

\( \frac{3}{\log_{3}(11)} \approx 2.389 \)

\( 27 - \frac{3}{\log_{3}(11)} \approx 24.611 \)

Do đó, ta chỉ quan tâm đến các giá trị nguyên nhỏ hơn \(24.611\).

Tổng các nghiệm nguyên sẽ là tổng các số nguyên từ \(1\) đến \(24\), tức là \(1 + 2 + 3 + ... + 24\), có thể tính được bằng công thức tổng của dãy số học.