Để tìm tọa độ của điểm \( M \) thuộc ellipse \( E: \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \) sao cho \( M \) nhìn hai tiêu điểm của \( E \) dưới một góc \( 60^\circ \), ta thực hiện các bước sau:

1. Gọi \( F_1 \) và \( F_2 \) lần lượt là hai tiêu điểm của ellipse \( E \).

2. Vẽ hai đoạn thẳng \( MF_1 \) và \( MF_2 \).

3. Biến đổi tọa độ của điểm \( M \) sao cho góc \( \angle MF_1F_2 \) là \( 60^\circ \).

Để làm điều này, ta cần sử dụng tính chất của ellipse. Biểu diễn hai tiêu điểm \( F_1 \) và \( F_2 \) của ellipse \( E \) dựa trên phương trình của nó:

\( F_1: (-c, 0) \) và \( F_2: (c, 0) \), với \( c \) là nửa trục lớn của ellipse và được tính theo công thức \( c = \sqrt{a^2 - b^2} \), trong đó \( a = 5 \) là nửa trục lớn và \( b = 3 \) là nửa trục nhỏ của ellipse \( E \).

Do đó, \( c = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \).

Vậy, \( F_1(-4, 0) \) và \( F_2(4, 0) \).

Bây giờ, để tính toán tọa độ của điểm \( M \), ta cần tìm một điểm \( M \) trên ellipse sao cho góc \( \angle MF_1F_2 \) là \( 60^\circ \). Để đơn giản hóa vấn đề, ta có thể giả sử \( M \) nằm trên trục \( x \) và có tọa độ \( (x, 0) \).

Đặt \( \alpha \) là góc \( \angle MF_1F_2 \), ta có:

\[ \tan(\alpha) = \frac{\text{độ dài } F_1F_2}{\text{độ dài } MF_1} = \frac{2c}{\sqrt{(x + 4)^2}} = \frac{2c}{|x + 4|} \]

\[ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \]

Do đó, \( \frac{2c}{|x + 4|} = \sqrt{3} \).

Giải phương trình trên để tìm \( x \):

\[ \frac{2 \cdot 4}{|x + 4|} = \sqrt{3} \]

\[ \frac{8}{|x + 4|} = \sqrt{3} \]

\[ |x + 4| = \frac{8}{\sqrt{3}} \]

\[ |x + 4| = \frac{8\sqrt{3}}{3} \]

Vì \( |x + 4| = x + 4 \) nếu \( x + 4 \geq 0 \) và \( |x + 4| = -(x + 4) \) nếu \( x + 4 < 0 \), ta cần giải hai trường hợp:

1. \( x + 4 = \frac{8\sqrt{3}}{3} \)
2. \( -(x + 4) = \frac{8\sqrt{3}}{3} \)

Giải hai phương trình trên, ta sẽ tìm được giá trị của \( x \). Sau đó, từ \( x \) đã tìm được, ta tính toán \( y \) tương ứng từ phương trình của ellipse \( E \).

Chú ý rằng với mỗi giá trị \( x \) đã tìm được, ta sẽ có hai điểm \( M \) tương ứng với \( y \) dương và \( y \) âm. Tuy nhiên, chỉ có một trong số chúng là điểm thỏa mãn điều kiện đề bài là \( M \) nhìn hai tiêu điểm của \( E \) dưới một góc \( 60^\circ \).