Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm tọa độ điểm giao điểm của đường thẳng \(d\) và đường tròn \(C\), gọi là \(A\) và \(B\).
2. Tìm phương trình của tiếp tuyến của đường tròn \(C\) tại \(A\) và \(B\).
3. Tìm tọa độ của điểm giao điểm \(M\) của hai tiếp tuyến trên.
4. Sử dụng thông tin về điểm \(M\) để tìm tọa độ của tâm \(I\) của đường tròn \(C\).

Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một:

**Bước 1:** Tìm \(A\) và \(B\).

Đường thẳng \(d: x + y = 0\) có phương trình đơn giản hóa là \(y = -x\).

Đặt phương trình đường tròn \(C\) là \(x^2 + (y - k)^2 = r^2\), trong đó \(k\) là hoành độ của tâm \(I\) và \(r\) là bán kính của đường tròn.

Để tìm \(A\) và \(B\), ta giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
y = -x \\
x^2 + (y - k)^2 = r^2
\end{cases}
\]

Thay \(y = -x\) vào phương trình thứ hai, ta có:

\[
x^2 + (-x - k)^2 = r^2
\]

Đồng nhất các hạng tử:

\[
x^2 + (x + k)^2 = r^2
\]

Mở ngoặc:

\[
x^2 + x^2 + 2kx + k^2 = r^2
\]

Suy ra:

\[
2x^2 + 2kx + k^2 - r^2 = 0
\]

Ta có một phương trình bậc hai với \(x\). Giải phương trình này để tìm \(x\), sau đó sử dụng \(y = -x\) để tìm \(y\).

**Bước 2:** Tìm phương trình của tiếp tuyến tại \(A\) và \(B\).

Để tìm phương trình tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn, ta cần sử dụng điểm và hướng tuyến của đường tròn tại điểm đó.

Hướng tuyến tại một điểm trên đường tròn là phản xạ của tia tới tâm qua điểm đó qua trục tọa độ.

**Bước 3:** Tìm \(M\).

Điểm \(M\) là giao điểm của hai tiếp tuyến tại \(A\) và \(B\). Từ đó, ta có thể tìm tọa độ của \(M\).

**Bước 4:** Tìm tọa độ của tâm \(I\).

Sử dụng thông tin về điểm \(M\) để tìm tọa độ của tâm \(I\).

Khi bạn đã hoàn thành các bước này, bạn sẽ tìm được tọa độ của tâm \(I\) của đường tròn \(C\).

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm tọa độ điểm giao điểm của đường thẳng d𝑑 và đường tròn C𝐶, gọi là A𝐴 và B𝐵.
2. Tìm phương trình của tiếp tuyến của đường tròn C𝐶 tại A𝐴 và B𝐵.
3. Tìm tọa độ của điểm giao điểm M𝑀 của hai tiếp tuyến trên.
4. Sử dụng thông tin về điểm M𝑀 để tìm tọa độ của tâm I𝐼 của đường tròn C𝐶.

Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một:

**Bước 1:** Tìm A𝐴 và B𝐵.

Đường thẳng d:x+y=0𝑑:𝑥+𝑦=0 có phương trình đơn giản hóa là y=−x𝑦=−𝑥.

Đặt phương trình đường tròn C𝐶 là x2+(y−k)2=r2𝑥2+(𝑦−𝑘)2=𝑟2, trong đó k𝑘 là hoành độ của tâm I𝐼 và r𝑟 là bán kính của đường tròn.

Để tìm A𝐴 và B𝐵, ta giải hệ phương trình:

{y=−xx2+(y−k)2=r2{𝑦=−𝑥𝑥2+(𝑦−𝑘)2=𝑟2

Thay y=−x𝑦=−𝑥 vào phương trình thứ hai, ta có:

x2+(−x−k)2=r2𝑥2+(−𝑥−𝑘)2=𝑟2

Đồng nhất các hạng tử:

x2+(x+k)2=r2𝑥2+(𝑥+𝑘)2=𝑟2

Mở ngoặc:

x2+x2+2kx+k2=r2𝑥2+𝑥2+2𝑘𝑥+𝑘2=𝑟2

Suy ra:

2x2+2kx+k2−r2=02𝑥2+2𝑘𝑥+𝑘2−𝑟2=0

Ta có một phương trình bậc hai với x𝑥. Giải phương trình này để tìm x𝑥, sau đó sử dụng y=−x𝑦=−𝑥 để tìm y𝑦.

**Bước 2:** Tìm phương trình của tiếp tuyến tại A𝐴 và B𝐵.

Để tìm phương trình tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn, ta cần sử dụng điểm và hướng tuyến của đường tròn tại điểm đó.

Hướng tuyến tại một điểm trên đường tròn là phản xạ của tia tới tâm qua điểm đó qua trục tọa độ.

**Bước 3:** Tìm M𝑀.

Điểm M𝑀 là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A𝐴 và B𝐵. Từ đó, ta có thể tìm tọa độ của M𝑀.

**Bước 4:** Tìm tọa độ của tâm I𝐼.

Sử dụng thông tin về điểm M𝑀 để tìm tọa độ của tâm I𝐼.

Khi bạn đã hoàn thành các bước này, bạn sẽ tìm được tọa độ của tâm I𝐼 của đường tròn C𝐶.