a) Đường thăng qua A và song song với BC
b) Đường trụng tuyến AM và đường cao AH của tam giác ABC
c) Đường thăng qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với AC.
d) Đường trung trực cạnh BC
Quảng cáo
2 câu trả lời 110
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về hệ số góc, phương trình đường thẳng và các tính chất của tam giác.
a) Đường thẳng qua A và song song với BC:
Vì đường thẳng này song song với BC, nên hệ số góc của đường thẳng sẽ bằng hệ số góc của BC. Ta có:
\[ \text{Hệ số góc của BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{-2 - (-3)}{2 - 1} = \frac{-2 + 3}{2 - 1} = \frac{1}{1} = 1 \]
Vậy, phương trình tổng quát của đường thẳng là:
\[ y - y_A = m(x - x_A) \]
\[ y - (-5) = 1(x - 3) \]
\[ y + 5 = x - 3 \]
\[ y = x - 8 \]
b) Đường trục tuyến AM và đường cao AH của tam giác ABC:
Đường trục tuyến AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên ta chỉ cần tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng BC, sau đó sử dụng phương trình đường thẳng đi qua trung điểm đó và điểm A.
Tọa độ trung điểm của BC là:
\[ M\left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right) = \left(\frac{1 + 2}{2}, \frac{-3 + (-2)}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, -\frac{5}{2}\right) \]
Vậy, phương trình của đường trục tuyến AM là:
\[ y - y_A = m(x - x_A) \]
\[ y - (-5) = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B}(x - 3) \]
\[ y + 5 = \frac{-2 - (-3)}{2 - 1}(x - 3) \]
\[ y + 5 = \frac{1}{1}(x - 3) \]
\[ y + 5 = x - 3 \]
\[ y = x - 8 \]
Đường cao AH của tam giác ABC sẽ vuông góc với đường trục tuyến AM, với điểm h là giao điểm của hai đường này, nên ta cũng sẽ có phương trình của AH là \(x - y = x_A - y_A\), tức là \(x - y = 3 + 5\), hoặc \(x - y = 8\).
c) Đường thẳng qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với AC:
Trọng tâm của tam giác ABC được tính bằng trung điểm của các đỉnh của tam giác, nên ta có:
\[ G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right) = \left(\frac{3 + 1 + 2}{3}, \frac{-5 + (-3) + (-2)}{3}\right) = \left(\frac{6}{3}, \frac{-10}{3}\right) = (2, -\frac{10}{3}) \]
Hệ số góc của đường thẳng cần tìm là số âm nghịch của nghịch đảo của hệ số góc của AC (vì đường này vuông góc với AC). Vậy, ta có:
\[ \text{Hệ số góc của AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{-2 - (-5)}{2 - 3} = \frac{-2 + 5}{2 - 3} = \frac{3}{-1} = -3 \]
\[ \text{Hệ số góc của đường thẳng cần tìm} = -\frac{1}{-3} = \frac{1}{3} \]
Vậy, phương trình của đường thẳng cần tìm là:
\[ y - y_G = m(x - x_G) \]
\[ y - (-\frac{10}{3}) = \frac{1}{3}(x - 2) \]
\[ y + \frac{10}{3} = \frac{1}{3}(x - 2) \]
\[ y + \frac{10}{3} = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} \]
\[ y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} - \frac{10}{3} \]
\[ y = \frac{1}{3}x - 4 \]
d) Đường trung trực cạnh BC:
Đường trung trực cạnh BC là đường thẳng vuông góc với BC và đi qua trung điểm của BC. Ta đã tính trung điểm của BC trong phần a), và hệ số góc của BC là \(\frac{1 - (-3)}{2 - 1} = \frac{4}{1} = 4\). Vậy, hệ số góc của đường trung trực cạnh BC sẽ là \(-\frac{1}{4}\).
Phương trình tổng quát của đường trung trực cạnh BC sẽ là:
\[ y - y_M = m(x - x_M) \]
\[ y - (-\frac{3}{2}) = -\frac{1}{4}(x - \frac{3}{2}) \]
\[ y + \frac{3}{2} = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{4} \times \frac{3}{2} \]
\[ y + \frac{3}{2} = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{8} \]
\[ y = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{8} - \frac{3}{2} \]
\[ y = -\frac{1}{4}x - \frac{3}{2} + \frac{3}{8} \]
\[ y =
**a) Đường thẳng qua A và song song với BC:**
Đầu tiên, tìm hệ số góc của BC:
$ m_{BC} = \frac{-2 - (-3)}{2 - 1} = 1 $
Vì đường thẳng cần tìm song song với BC, nó cũng sẽ có hệ số góc là 1. Phương trình đường thẳng qua A(3; -5) và có hệ số góc m là:
$ y + 5 = m(x - 3) $
Thay m = 1 vào, ta được:
$ y + 5 = x - 3 $
$ \Rightarrow y - x + 8 = 0 $
**b) Đường trung tuyến AM và đường cao AH của tam giác ABC:**
Đường trung tuyến AM sẽ đi qua A và trung điểm M của BC. Tìm M:
Phương trình đường thẳng AM sẽ là:
$ y + 5 = \frac{-5/2 - (-5)}{3/2 - 3}(x - 3) $
Sau khi giản ước, ta được:
$ y + 5 = -\frac{5}{2}(x - 3) $
$ \Rightarrow 2y + 10 = -5x + 15 $
$ \Rightarrow 5x + 2y - 5 = 0 $
Đường cao AH sẽ vuông góc với BC, vậy nó sẽ có hệ số góc là \( -\frac{1}{m_{BC}} = -1 \). Phương trình đường cao AH qua A(3; -5) là:
$ y + 5 = -1(x - 3) $
$ \Rightarrow y + x - 3 - 5 = 0 $
$ \Rightarrow y + x - 8 = 0 $
**c) Đường thẳng qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với AC:**
Trọng tâm G của tam giác có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ các đỉnh:
$ G = \left(\frac{3+1+2}{3}, \frac{-5-3-2}{3}\right) = \left(2, -\frac{10}{3}\right) $
Hệ số góc của AC là:
$ m_{AC} = \frac{-2 - (-5)}{2 - 3} = 3 $
Đường thẳng qua G và vuông góc với AC sẽ có hệ số góc là \( -\frac{1}{m_{AC}} = -\frac{1}{3} \). Phương trình đường thẳng này là:
$ y + \frac{10}{3} = -\frac{1}{3}(x - 2) $
$ \Rightarrow 3y + 10 = -x + 2 $
$ \Rightarrow x + 3y - 8 = 0 $
**d) Đường trung trực của cạnh BC:**
Đường trung trực của cạnh BC sẽ đi qua trung điểm M của BC và vuông góc với BC. Ta đã có M ở trên, và hệ số góc của đường trung trực sẽ là \( -\frac{1}{m_{BC}} = -1 \). Phương trình đường trung trực là:
$ y + \frac{5}{2} = -1(x - \frac{3}{2}) $
$ \Rightarrow y + x - \frac{3}{2} - \frac{5}{2} = 0 $
$ \Rightarrow y + x - 4 = 0 $
Quảng cáo