Cho đa thức P(x) =x3 +x2+x+1 và Q(x)=x4-1.tìm A(x) sao cho P(x)×A(x)=Q(x)
Quảng cáo
2 câu trả lời 30
Để tìm đa thức \( A(x) \) sao cho \( P(x) \times A(x) = Q(x) \), ta cần chia \( Q(x) \) cho \( P(x) \), tức là:
\[ Q(x) = P(x) \times A(x) + R(x) \]
Trong đó \( R(x) \) là đa thức dư sau khi chia. Ta có:
\[ Q(x) = (x^3 + x^2 + x + 1) \times A(x) + R(x) \]
Vì \( Q(x) = x^4 - 1 \), nên:
\[ x^4 - 1 = (x^3 + x^2 + x + 1) \times A(x) + R(x) \]
Để dễ dàng giải quyết bài toán này, ta cần phải chia \( Q(x) \) cho \( P(x) \) để xác định \( A(x) \) và \( R(x) \).
\[ Q(x) = (x^3 + x^2 + x + 1) \times A(x) + R(x) \]
\[ x^4 - 1 = (x^3 + x^2 + x + 1) \times A(x) + R(x) \]
Để đơn giản hóa bài toán, ta sẽ sử dụng định lý chia đa thức. Vì \( \deg(R(x)) < \deg(P(x)) \), ta biết rằng \( \deg(R(x)) \) sẽ là 2 hoặc thấp hơn. Do đó, ta sẽ giải quyết bài toán bằng cách tìm \( A(x) \) và \( R(x) \) như sau:
\[ A(x) = \frac{{Q(x)}}{{P(x)}} \]
\[ R(x) = Q(x) - P(x) \times A(x) \]
\[ R(x) = x^4 - 1 - (x^3 + x^2 + x + 1) \times A(x) \]
\[ R(x) = x^4 - 1 - (x^3 + x^2 + x + 1) \times \frac{{x^4 - 1}}{{x^3 + x^2 + x + 1}} \]
Sau khi thực hiện phép tính, ta sẽ có \( R(x) \), đồng thời \( A(x) \) sẽ là kết quả của phép chia.
Để tìm đa thức \(A(x)\) sao cho \(P(x) \times A(x) = Q(x)\), ta thực hiện phép chia đa thức \(Q(x)\) cho đa thức \(P(x)\).
Đầu tiên, ta cần thực hiện phép chia đa thức \(Q(x)\) cho \(P(x)\):
\[
\begin{array}{r|rrrr}
& x^3 & +x^2 & +x & +1 \\
\hline
x^4-1 & x^4 & -1 & & \\
& x^4 & +x^3 & +x^2 & +x \\
\hline
& & x^3 & 0 & +1 \\
\end{array}
\]
Kết quả của phép chia là \(x^3\), và dư là \(0x^2 + 1\).
Vậy, ta có:
\[
\begin{align*}
Q(x) &= P(x) \times A(x) + R(x) \\
x^4 - 1 &= (x^3 + x^2 + x + 1) \times A(x) + (0x^2 + 1)
\end{align*}
\]
Tức là:
\[
\begin{align*}
A(x) &= x^3 \\
R(x) &= 0x^2 + 1
\end{align*}
\]
Do đó, \(A(x) = x^3\).
Vậy đa thức \(A(x)\) sao cho \(P(x) \times A(x) = Q(x)\) là \(A(x) = x^3\).
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
6 52540
-
6 32220