Để giải bài toán, ta cần biết rằng khối lăng trụ tam giác đều có các cạnh của các hình tam giác bằng nhau và có chiều cao \(h\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Do tam giác đều nên mỗi góc của nó đều bằng \(60^\circ\).

Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng đáy của khối lăng trụ là \(3a\). Vì tam giác đều nên khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng đáy cũng là đường cao của tam giác đều, do đó \(h = 3a\).

Góc giữa hai mặt phẳng là \(\theta\).

Diện tích mặt phẳng đáy \(S_{\text{đáy}}\) của khối lăng trụ tam giác đều \(ABC\) là:
\[S_{\text{đáy}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\]

Thể tích \(V\) của khối lăng trụ tam giác đều được tính bằng công thức:
\[V = S_{\text{đáy}} \times h\]

Thay các giá trị vào công thức, ta có:
\[V = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times 3a\]
\[V = \frac{3\sqrt{3}}{4}a^3\]

Vậy thể tích của khối lăng trụ tam giác đều là \(\frac{3\sqrt{3}}{4}a^3\).