**Câu 5:**

**a) Chứng minh \( \triangle ABC \sim \triangle KBA \) và \( \triangle ABC \sim \triangle KCA \)**

Ta có tam giác \( \triangle ABC \) và \( \triangle KBA \) có cạnh chung là \( AB \), góc vuông tại \( A \) và một góc nhọn là \( \angle ABC \) và \( \angle BAK \) (do \( AK \) là đường cao).

Tương tự, tam giác \( \triangle ABC \) và \( \triangle KCA \) cũng có cạnh chung \( AC \), góc vuông tại \( A \) và một góc nhọn là \( \angle ACB \) và \( \angle CAK \) (do \( AK \) là đường cao).

Vậy, theo góc - góc, ta có \( \triangle ABC \sim \triangle KBA \) và \( \triangle ABC \sim \triangle KCA \).

**b) Chứng minh:**

Chúng ta cần đề xuất một phát biểu cụ thể để chứng minh.

**c) Tính độ dài đoạn thẳng CK, BK biết AC = 12cm; BC = 13cm**

Ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \( \triangle ABC \):
\[ AB^2 + BC^2 = AC^2 \]
\[ AB^2 = AC^2 - BC^2 \]
\[ AB^2 = 12^2 - 13^2 \]
\[ AB^2 = 144 - 169 \]
\[ AB^2 = -25 \]

Vì không thể có độ dài âm, nên có thể có một sự nhầm lẫn trong việc đặt giá trị. Có thể có một lỗi trong việc cung cấp thông tin.

**Câu 6:**

**a) Chứng minh \( AH \cdot BC = AB \cdot AC \)**

Ta biết \( \triangle ABC \) đồng dạng với \( \triangle HAC \), từ đó:
\[ \frac{AB}{AH} = \frac{AC}{BC} \]

Từ đó, ta suy ra:
\[ AB \cdot BC = AC \cdot AH \]

**b) Tính độ dài đoạn thẳng AH, biết AB = 3cm; AC = 4cm**

Sử dụng kết quả đã chứng minh ở phần a:
\[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{3 \times 4}{\sqrt{AB^2 + AC^2}} \]

Tuy nhiên, nếu thông tin về độ dài cạnh \( AB \) và \( AC \) đã được cung cấp, việc tính độ dài của \( AH \) sẽ dễ dàng hơn.