a) Chứng minh ΔABD=ΔEBD và so sánh DA và DC :

Vì ΔABC vuông tại A , ta có ∠ABC=90∘ . Tia phân giác của ∠ABC cắt AC tại D , với ∠DBA=∠DBE , do đó ΔABD=ΔEBD theo góc - cạnh - góc đồng dạng.

Từ ΔABD=ΔEBD , chúng ta có thể kết luận rằng:

1. ∠ADB=∠EDB
2. BD=BD (cạnh chung)
3. ∠ABD=∠EBD

Theo định lý góc - cạnh - góc đồng dạng, ΔABD=ΔEBD .

Từ ΔABD=ΔEBD , ta cũng có thể suy ra rằng AD=DE , vì chúng là đối với các góc có độ đồng nhất.

Do đó, DA=DE+AE>DE=DC . Vậy, ta có DA>DC .

b) Chứng minh ΔKDC là tam giác cân và BH vuông góc với KC :

Gọi K là giao điểm của BA và ED . Đường thẳng BD cắt CK tại H .

Ta biết ΔABD=ΔEBD , từ đó ta có:

∠ADB=∠EDB

Do DE vuông góc với BC , nên ∠EDB=90∘ . Vậy, ∠ADB=90∘ .

Ta cũng biết ∠ABD=∠EBD . Vì ΔABD=ΔEBD , nên BD=BD , do đó ∠DBA=∠DBE .

Do ∠ADB=90∘ và ∠DBA=∠DBE , ta có ∠ADB=∠DBA=∠DBE .

Như vậy, ΔADB là tam giác cân, và vì KD là tia phân giác của ∠K , nên KD cũng là trung tuyến của ΔADB . Do đó, KD cũng là trung tuyến của ΔABD , từ đó ta có DK=DA .

Vậy, KD=DA , KD=DC , do đó ΔKDC là tam giác cân.

Để chứng minh BH vuông góc với KC , ta thấy rằng ∠DKH và ∠BKC là cặp góc đối nhau khi hai đường thẳng BD và CK cắt nhau.

Vậy, ∠DKH=∠BKC . Nhưng vì ΔKDC là tam giác cân, KC là đường trung tuyến, do đó KC chia BD thành hai đoạn bằng nhau, từ đó ∠BKC=∠KDH .

Do đó, ∠DKH=∠KDH , nghĩa là BH vuông góc với KC .

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi từng phần:

a) Chứng minh \(∆ABD = ∆EBD\) và so sánh \(DA\) và \(DC\):

Vì \(∆ABC\) vuông tại \(A\), ta có \(∠ABC = 90^\circ\). Tia phân giác của \(∠ABC\) cắt \(AC\) tại \(D\), với \(∠DBA = ∠DBE\), do đó \(∆ABD = ∆EBD\) theo góc - cạnh - góc đồng dạng.

Từ \(∆ABD = ∆EBD\), chúng ta có thể kết luận rằng:

1. \(∠ADB = ∠EDB\)
2. \(BD = BD\) (cạnh chung)
3. \(∠ABD = ∠EBD\)

Theo định lý góc - cạnh - góc đồng dạng, \(∆ABD = ∆EBD\).

Từ \(∆ABD = ∆EBD\), ta cũng có thể suy ra rằng \(AD = DE\), vì chúng là đối với các góc có độ đồng nhất.

Do đó, \(DA = DE + AE > DE = DC\). Vậy, ta có \(DA > DC\).

b) Chứng minh \(∆KDC\) là tam giác cân và \(BH\) vuông góc với \(KC\):

Gọi \(K\) là giao điểm của \(BA\) và \(ED\). Đường thẳng \(BD\) cắt \(CK\) tại \(H\).

Ta biết \(∆ABD = ∆EBD\), từ đó ta có:

\[
\angle ADB = \angle EDB
\]

Do \(DE\) vuông góc với \(BC\), nên \(∠EDB = 90^\circ\). Vậy, \(∠ADB = 90^\circ\).

Ta cũng biết \(∠ABD = ∠EBD\). Vì \(∆ABD = ∆EBD\), nên \(BD = BD\), do đó \(∠DBA = ∠DBE\).

Do \(∠ADB = 90^\circ\) và \(∠DBA = ∠DBE\), ta có \(∠ADB = ∠DBA = ∠DBE\).

Như vậy, \(∆ADB\) là tam giác cân, và vì \(KD\) là tia phân giác của \(∠K\), nên \(KD\) cũng là trung tuyến của \(∆ADB\). Do đó, \(KD\) cũng là trung tuyến của \(∆ABD\), từ đó ta có \(DK = DA\).

Vậy, \(KD = DA\), \(KD = DC\), do đó \(∆KDC\) là tam giác cân.

Để chứng minh \(BH\) vuông góc với \(KC\), ta thấy rằng \(∠DKH\) và \(∠BKC\) là cặp góc đối nhau khi hai đường thẳng \(BD\) và \(CK\) cắt nhau.

Vậy, \(∠DKH = ∠BKC\). Nhưng vì \(∆KDC\) là tam giác cân, \(KC\) là đường trung tuyến, do đó \(KC\) chia \(BD\) thành hai đoạn bằng nhau, từ đó \(∠BKC = ∠KDH\).

Do đó, \(∠DKH = ∠KDH\), nghĩa là \(BH\) vuông góc với \(KC\).