Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m (- 2022; 2022) để hàm số y = đồng biến trên (1; 3)
Quảng cáo
1 câu trả lời 130
Bài toán:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈(−2022;2022) để hàm số y=∣x3+(2m+1)x−2∣ đồng biến trên khoảng (1;3)?
Giải:
Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số
Hàm số xác định với mọi giá trị thực của x.
Bước 2: Khảo sát sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Xét trường hợp x<−1
Khi x<−1, ta có:
x3+(2m+1)x−2=(x+2)(x2−x+1)
Do x2−x+1=(x−21)2+43>0 với mọi x nên x3+(2m+1)x−2>0 với mọi x<−1.
Do đó, y=∣x3+(2m+1)x−2∣=x3+(2m+1)x−2 với mọi x<−1.
Hàm số y=x3+(2m+1)x−2 là hàm số liên tục trên (−∞;−1). Xét đạo hàm của hàm số:
y′=3x2+(2m+1)
Ta có:
y′=0⇔x2=−32m+1
Phương trình x2=−32m+1 vô nghiệm với mọi m∈(−2022;2022).
Do đó, y′ không đổi dấu trên (−∞;−1).
Vì y′(x)>0 với mọi x<−1 nên hàm số y=x3+(2m+1)x−2 đồng biến trên (−∞;−1) với mọi m∈(−2022;2022).
Xét trường hợp −1≤x<1
Khi −1≤x<1, ta có:
x3+(2m+1)x−2=(x+2)(x2−x+1)
Do x2−x+1=(x−21)2+43>0 với mọi x nên x3+(2m+1)x−2>0 với mọi x<−1.
Do đó, y=∣x3+(2m+1)x−2∣=x3+(2m+1)x−2 với mọi x<−1.
Hàm số y=x3+(2m+1)x−2 là hàm số liên tục trên (−1;1). Xét đạo hàm của hàm số:
y′=3x2+(2m+1)
Ta có:
y′=0⇔x2=−32m+1
Phương trình x2=−32m+1 vô nghiệm với mọi m∈(−2022;2022).
Do đó, y′ không đổi dấu trên (−1;1).
Vì y′(x)>0 với mọi x<1 nên hàm số y=x3+(2m+1)x−2 đồng biến trên (−1;1) với mọi m∈(−2022;2022).
Xét trường hợp x≥1
Khi x≥1, ta có:
x3+(2m+1)x−2=x3+(2m+1)x−2
Hàm số y=x3+(2m+1)x−2 là hàm số liên tục trên (1;+∞). Xét đạo hàm của hàm số:
$$y' = 3x^2
Quảng cáo