## Tính giới hạn của dãy số

**Dãy số đã cho:**

* $x_1 = 5$

* $x_{n+1} = \dfrac{x_n^2 + 2x_n}{5}$

**Tính giới hạn:**

**Bước 1: Biến đổi dãy số**

Ta có thể viết lại dãy số như sau:

* $x_2 - 3 = \dfrac{x_1^2 + 2x_1}{5} - 3 = \dfrac{x_1(x_1 + 2)}{5} - 3 = \dfrac{x_1(x_1 - 13)}{5}$

* $x_3 - 3 = \dfrac{x_2^2 + 2x_2}{5} - 3 = \dfrac{x_2(x_2 + 2)}{5} - 3 = \dfrac{x_2(x_2 - 13)}{5}$

Nhìn chung, ta có công thức:

* $x_{n+1} - 3 = \dfrac{x_n(x_n - 13)}{5}$

**Bước 2: Tính tổng dãy số**

Ta cộng các vế tương ứng của các đẳng thức trên từ $n = 1$ đến $n = k$:

* $(x_2 - 3) + (x_3 - 3) + ... + (x_{k+1} - 3) = \dfrac{x_1(x_1 - 13)}{5} + \dfrac{x_2(x_2 - 13)}{5} + ... + \dfrac{x_k(x_k - 13)}{5}$

Suy ra:

* $x_{k+1} - 3k = \dfrac{x_1(x_1 - 13) + x_2(x_2 - 13) + ... + x_k(x_k - 13)}{5}$

**Bước 3: Tính giới hạn**

Lấy giới hạn hai vế khi $k$ tiến về vô cùng:

* $\lim_{k \to \infty} (x_{k+1} - 3k) = \lim_{k \to \infty} \dfrac{x_1(x_1 - 13) + x_2(x_2 - 13) + ... + x_k(x_k - 13)}{5}$

**Ta cần chứng minh rằng giới hạn hai vế đều tồn tại.**

**Vế trái:**

* $|x_{k+1} - 3k| \le |x_{k+1}| + 3k$

Ta có:

* $\lim_{k \to \infty} |x_{k+1}| = 0$ (Do dãy số $x_n$ có giới hạn hữu hạn)

* $\lim_{k \to \infty} 3k = \infty$

Vì $\lim_{k \to \infty} |x_{k+1}| = 0$ và $\lim_{k \to \infty} 3k = \infty$, nên theo tính chất so sánh giới hạn, ta có:

* $\lim_{k \to \infty} (|x_{k+1}| + 3k) = \infty$

Do đó, giới hạn vế trái không tồn tại.

**Vế phải:**

* $\left| \dfrac{x_1(x_1 - 13) + x_2(x_2 - 13) + ... + x_k(x_k - 13)}{5} \right| \le \dfrac{|x_1(x_1 - 13)| + |x_2(x_2 - 13)| + ... + |x_k(x_k - 13)|}{5}$

Ta có:

* $\lim_{k \to \infty} \dfrac{|x_1(x_1 - 13)| + |x_2(x_2 - 13)| + ... + |x_k(x_k - 13)|}{5} = 0$ (Do dãy số $x_n$ có giới hạn hữu hạn)

Vì $\lim_{k \to \infty} \dfrac{|x_1(x_1 - 13)| + |x_2(x_2 - 13)| + ... + |x_k(x_k - 13)|}{5} = 0$, nên giới hạn vế phải tồn tại