Cho H là hình phẳng giới hạn của các đường y = ; y = 4 - x và trục hoành. Tính thể tích V của khối tạo thành khi cho hình H quay quanh trục Ox
Quảng cáo
1 câu trả lời 590
Để tính thể tích \( V \) của khối tạo thành khi hình \( H \) quay quanh trục \( Ox \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân.
Đầu tiên, ta cần xác định các giới hạn của hình \( H \) theo \( x \) và \( y \). Hình \( H \) được giới hạn bởi đường \( y = \sqrt{2x} \) và \( y = 4 - x \).
Giải phương trình \( \sqrt{2x} = 4 - x \) để tìm điểm giao nhau của hai đường này:
\[ \sqrt{2x} = 4 - x \]
\[ \Rightarrow 2x = (4 - x)^2 \]
\[ \Rightarrow 2x = 16 - 8x + x^2 \]
\[ \Rightarrow x^2 + 10x - 16 = 0 \]
Giải phương trình trên ta được \( x = 2 \) hoặc \( x = -8 \). Vì \( x \geq 0 \) (vì \( x \) là độ dài), nên ta chỉ lấy \( x = 2 \).
Vậy, các giới hạn của \( x \) là từ \( 0 \) đến \( 2 \).
Bây giờ, ta tính thể tích \( V \) bằng phương trình tích phân:
\[ V = \pi \int_{0}^{2} [(4 - x)^2 - (\sqrt{2x})^2] \, dx \]
\[ V = \pi \int_{0}^{2} (16 - 8x + x^2 - 2x) \, dx \]
\[ V = \pi \int_{0}^{2} (x^2 - 10x + 16) \, dx \]
\[ V = \pi \left[ \frac{1}{3}x^3 - 5x^2 + 16x \right]_{0}^{2} \]
\[ V = \pi \left[ \left( \frac{1}{3}(2)^3 - 5(2)^2 + 16(2) \right) - \left( \frac{1}{3}(0)^3 - 5(0)^2 + 16(0) \right) \right] \]
\[ V = \pi \left[ \left( \frac{8}{3} - 20 + 32 \right) - 0 \right] \]
\[ V = \pi \left[ \frac{8}{3} + 12 \right] \]
\[ V = \pi \left( \frac{44}{3} \right) \]
\[ \boxed{V = \frac{44\pi}{3}} \]
Vậy thể tích của khối tạo thành khi hình \( H \) quay quanh trục \( Ox \) là \( \frac{44\pi}{3} \).
Quảng cáo