## Giải bài toán:

**Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Kẻ BD là tia phân giác của góc ABC. Kẻ DE vuông góc với BC.**

**a) Chứng minh tam giác ABD = tam giác EBD:**

* **Xét tam giác ABD và tam giác EBD:**

    * AB = BE (theo đề bài)

    * $\widehat{ABD} = \widehat{EBD}$ (BD là tia phân giác của góc ABC)

    * BD là cạnh chung

    * **Suy ra:** $\triangle ABD = \triangle EBD$ (c.g.c)

**b) Chứng minh tam giác ABE là tam giác cân và AD < DC:**

* **Ta có:** $\triangle ABD = \triangle EBD$ (cmt)

    * **Suy ra:** $\widehat{BAD} = \widehat{BED}$ (hai góc tương ứng)

* **Xét tam giác ABE và tam giác ADE:**

    * AB = AE (theo đề bài)

    * $\widehat{BAD} = \widehat{BED}$ (cmt)

    * BE = DE (cạnh huyền của hai tam giác vuông ABE và EBD bằng nhau)

    * **Suy ra:** $\triangle ABE = \triangle ADE$ (c.g.c)

    * **Do đó:** $\widehat{BAE} = \widehat{DAE}$ (hai góc tương ứng)

    * **Suy ra:** Tam giác ABE là tam giác cân

* **Vì AB < AC (theo đề bài) và BE = AE (cmt) nên BE < AC.**

* **Xét tam giác ABC vuông tại A:**

    * **Suy ra:** AC > BC (cạnh huyền lớn nhất trong tam giác vuông)

    * **Do đó:** BE < BC < AC

    * **Ta lại có:** BE = DE (cạnh huyền của hai tam giác vuông ABE và EBD bằng nhau)

    * **Suy ra:** DE < AC

    * **Trên cạnh AC, ta có:** DE < AC

    * **Suy ra:** D nằm giữa A và C

    * **Do đó:** AD < DC

**c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = CE. Chứng minh AD + AF > CF/2:**

* **Xét tam giác ABE và tam giác FEC:**

    * AB = FE (theo đề bài)

    * $\widehat{BAE} = \widehat{FEC}$ (hai góc đối đỉnh)

    * BE = CE (theo đề bài)

    * **Suy ra:** $\triangle ABE = \triangle FEC$ (c.g.c)

    * **Do đó:** AE = CF

* **Ta có:** AD + AF = AE + AF = CF

* **Vì CF/2 < CF, nên AD + AF > CF/2.**

**d) Kẻ tia FX vuông góc FB. Tia FX cắt tia BD tại K. Gọi M là giao điểm của BK và FC. Trên tia đối của tia CF lấy điểm G sao cho CG = CF. Chứng minh C là trọng tâm của tam giác DKG:**

* **Xét tam giác BFK và tam giác BGC:**

    * BF = BG (theo đề bài)

    * $\widehat{FBK} = \widehat{GBK}$ (hai góc đối đỉnh)

    * BK là cạnh chung

    * **Suy ra:** $\triangle BFK = \triangle BGC$ (c.g.c)

    * **Do đó:** FK = GC

* **Ta có:** CF = CG (theo đề bài)

    * **Suy ra:** FK + CG = CF + CF = 2CF

* **Xét tam giác DKC và tam giác FKC:**

    * DK = FK (cmt)

    * $\widehat{DKC} = \widehat{FKD}$ (hai góc đối đỉnh)

    * KC là cạnh chung

    * **Suy ra:** $\triangle DKC = \triangle FKC$ (c.g.c)

    * **Do đó:** DC = FC

* **Ta có:** AD + AF = CF (cmt)

    * **Suy ra:** AD + AF + DC = CF + DC = 2DC

    * **Lại có:** DK = FK + CG = 2CF (cmt)

    * **Do đó:** AD + AF + DC = DK

* **Xét tam giác DKG:**

    * C là trung điểm của DK (DK = FK + CG = 2CF)

    * G là trung điểm của DC (DC = FC)

    * **Suy ra:** C là trọng tâm của tam giác D