## Giải bài toán:

**1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = MA^2 + MB^2 + MC^2 theo a, b, c.**

**Áp dụng bất đẳng thức tam giác:**

*` MA + MB > AB = c`

* `MA + MC > AC = b`

*` MB + MC > BC = a`

**Cộng ba bất đẳng thức trên, ta có:** 2(MA + MB + MC) > a + b + c

**Suy ra:** MA + MB + MC > $\dfrac{a + b + c}{2}$

**Bình phương hai vế của bất đẳng thức trên, ta có:**

(MA^2 + MB^2 + MC^2) + 2(MA.MB + MA.MC + MB.MC) > $\dfrac{(a + b + c)^2}{4}$

**Do MA, MB, MC là các cạnh của tam giác, theo bất đẳng thức tam giác, ta có:**

MA.MB + MA.MC + MB.MC < $\dfrac{(a + b + c)^2}{2}$

**Suy ra:** MA^2 + MB^2 + MC^2 > $\dfrac{(a + b + c)^2}{4}$ - $\dfrac{(a + b + c)^2}{2}$ = $\dfrac{(a + b + c)^2}{8}$

**Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi MA = MB = MC = $\dfrac{a + b + c}{6}$**

**Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là $\dfrac{(a + b + c)^2}{8}$ khi và chỉ khi MA = MB = MC = $\dfrac{a + b + c}{6}$**

**2. Giả sử a = $\sqrt{6}$ cm, b = 2 cm, c = (1 + $\sqrt{3}$) cm. Tính số đo góc nhỏ nhất của tam giác ABC và diện tích tam giác ABC.**

**Tính số đo góc nhỏ nhất của tam giác ABC:**

* Sử dụng định lí cosin, ta có:

cos(A) = $\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ = $\dfrac{4 + (1 + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2}{4(2)(1 + \sqrt{3})}$ = $\dfrac{2 + \sqrt{3}}{4(1 + \sqrt{3})}$ = $\dfrac{1}{2}$

**Suy ra:** A = 60°

**Góc nhỏ nhất của tam giác ABC là 60°.**

**Tính diện tích tam giác ABC:**

* Sử dụng công thức diện tích tam giác:

S = $\dfrac{1}{2}ab.sin(C)$

**Do góc A = 60°, ta có:**

C = 180° - A - B = 180° - 60° - B

**Sử dụng định lí sin, ta có:**

$\dfrac{a}{sin(A)} = \dfrac{b}{sin(B)} = \dfrac{c}{sin(C)}$

**Suy ra:** $\dfrac{b}{sin(B)} = \dfrac{c}{sin(180° - 60° - B)}$ = $\dfrac{c}{sin(B + 60°)}$

**Do sin(B + 60°) = sin(180° - B) = sin(B), ta có:**

$\dfrac{b}{sin(B)} = \dfrac{c}{sin(B)}$

**Suy ra:** b.sin(B) = c.sin(B)

**Do b ≠ c, ta có:** sin(B) = 0

**Suy ra:** B = 0° hoặc B = 180°

**Trường hợp B = 0°:**

* Tam giác ABC trở thành tam giác cân tại A với AB = AC = a = $\sqrt{6}$ cm.

* Diện tích tam giác ABC: S = $\dfrac{1}{2}ab.sin(C)$ = $\dfrac{1}{2}(\sqrt{6})^2.sin(60°)$ = $\dfrac{3}{2}$ cm^2.

**Trường hợp B = 180°:**

* Ba điểm A, B, C thẳng hàng.

* Không có tam giác ABC.

**Vậy diện tích tam giác ABC là $\dfrac{3}{2}$ cm^2.**