\[ (a^3)^{\log_{\sqrt{2}}{2}} = a^{3 \cdot \log_{\sqrt{2}}{2}} \]

Bởi vì \( a^{ \log_a{b} } = b \), nên:

\[ a^{3 \cdot \log_{\sqrt{2}}{2}} = a^{\log_{\sqrt{2}}{(2^3)}} \]

Sau đó, chúng ta có thể thấy \( a^{\log_{\sqrt{2}}{(2^3)}} = a^{\frac{3}{2}} \). mà \( a > 0 \) và \( a \neq 1 \), vì vậy đáp án cuối cùng sẽ là \( a^{\frac{3}{2}} \).

Để tính giá trị của biểu thức \( (a^3)^{\log_{\sqrt{2}}{2}} \) với \( a > 0 \) và \( a \neq 1 \), ta sử dụng quy tắc chuyển đổi cơ số của logarit và tính chất của lũy thừa:

1. Đầu tiên, ta nhận thấy rằng \( \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} \), do đó \( \log_{\sqrt{2}}{2} \) có thể được viết lại như sau:

\[ \log_{\sqrt{2}}{2} = \log_{2^{\frac{1}{2}}}{2} \]

2. Sử dụng quy tắc chuyển đổi cơ số logarit, ta có:

\[ \log_{2^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\log_{2}{2}}{\log_{2}{2^{\frac{1}{2}}}} \]

3. Vì \( \log_{2}{2} = 1 \) và \( \log_{2}{2^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \), ta có:

\[ \log_{2^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \]

4. Bây giờ ta có thể tính giá trị của biểu thức ban đầu:

\[ (a^3)^{\log_{\sqrt{2}}{2}} = (a^3)^2 \]

5. Áp dụng tính chất của lũy thừa, \( (a^m)^n = a^{mn} \), ta có:

\[ (a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6 \]

Vậy, \( (a^3)^{\log_{\sqrt{2}}{2}} = a^6 \).