Để tính diện tích xung quanh \( S_{xq} \) của hình nón được tạo nên khi quay tam giác đều ABC cạnh \( a \) quanh đường cao \( AH \), chúng ta cần xác định bán kính đáy \( r \) và đường sinh \( l \) của hình nón.

Trong tam giác đều ABC, đường cao \( AH \) cũng là trung tuyến, do đó nó chia cạnh \( BC \) thành hai đoạn bằng nhau và \( AH \) là \( \frac{\sqrt{3}}{2}a \) (vì đường cao trong tam giác đều có công thức \( h = \frac{\sqrt{3}}{2}a \)).

Khi tam giác quay quanh \( AH \), đường cao \( AH \) trở thành chiều cao của hình nón, và nửa cạnh đáy \( BC \) trở thành bán kính đáy của hình nón:

\[ r = \frac{a}{2} \]

\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2}a \]

Đường sinh \( l \) của hình nón chính là cạnh \( a \) của tam giác đều. Diện tích xung quanh của hình nón được tính bằng công thức:

\[ S_{xq} = \pi r l \]

Thay \( r = \frac{a}{2} \) và \( l = a \) vào công thức, ta được:

\[ S_{xq} = \pi \cdot \frac{a}{2} \cdot a \]

\[ S_{xq} = \frac{\pi a^2}{2} \]

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là \( \frac{\pi a^2}{2} \).