Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các quy tắc logarit để tính giá trị của \( I \). Đầu tiên, ta cần tìm giá trị của \( a \) và \( b \) từ các phương trình logarit đã cho:

1. \( \log_3(a) = 2 \) nên \( a = 3^2 = 9 \).

2. \( \log_2(b) = \frac{1}{2} \) nên \( b = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} \).

Bây giờ, ta sẽ tính \( I \):

\( I = 2 \cdot \log_3[\log_3(3a)] + \log_{\frac{1}{4}}(b^2) \)

Thay \( a = 9 \) và \( b = \sqrt{2} \) vào, ta có:

\( I = 2 \cdot \log_3[\log_3(27)] + \log_{\frac{1}{4}}(2) \)

\( \log_3(27) = 3 \) vì \( 3^3 = 27 \), nên:

\( I = 2 \cdot \log_3(3) + \log_{\frac{1}{4}}(2) \)

\( \log_3(3) = 1 \) và \( \log_{\frac{1}{4}}(2) \) là giá trị mà \( (\frac{1}{4})^x = 2 \). Để giải phương trình này, ta nhận thấy rằng \( \frac{1}{4} = 2^{-2} \), nên:

\( (\frac{1}{4})^x = (2^{-2})^x = 2^{-2x} \)

Đặt \( -2x = 1 \), ta được \( x = -\frac{1}{2} \). Vậy:

\( I = 2 \cdot 1 + (-\frac{1}{2}) \)

\( I = 2 - \frac{1}{2} \)

\( I = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \)

\( I = \frac{3}{2} \)

Vậy, giá trị của \( I \) là \( \frac{3}{2} \). Chọn đáp án C. I = 3/2.