Để viết phương trình mặt phẳng qua điểm \(A(1, -2, -1)\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\), chúng ta cần tìm vector chỉ phương của đường thẳng \(BC\), sau đó sử dụng vector này như là vector pháp tuyến của mặt phẳng.

Đầu tiên, tìm vector chỉ phương của đường thẳng \(BC\) bằng cách lấy tọa độ của \(C\) trừ cho tọa độ của \(B\):

\[B(1, 0, 2), C(0, 2, 1)\]

\[BC = C - B = (0-1, 2-0, 1-2) = (-1, 2, -1)\]

Vector này \((-1, 2, -1)\) cũng chính là vector pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm, vì mặt phẳng cần vuông góc với \(BC\).

Phương trình mặt phẳng có dạng:

\[Ax + By + Cz + D = 0\]

Ở đây, \(A, B, C\) là các hệ số của vector pháp tuyến, và \(x, y, z\) là tọa độ của bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng. Để tìm \(D\), chúng ta sử dụng tọa độ của điểm \(A\) vì ta biết mặt phẳng đi qua \(A\):

\[-1x + 2y - 1z + D = 0\]

Thay \(x = 1\), \(y = -2\), \(z = -1\) từ điểm \(A\):

\[-1(1) + 2(-2) - 1(-1) + D = 0\]

\[-1 - 4 + 1 + D = 0\]

\[D = 4\]

Vậy phương trình mặt phẳng là:

\[-x + 2y - z + 4 = 0\]

Hoặc có thể viết lại một cách gọn gàng hơn là:

\[x - 2y + z = 4\]