Để tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho, ta cần tìm bán kính đáy và diện tích xung quanh của hình nón.

Gọi R là bán kính đáy của hình nón, ta có tam giác đều được cắt từ hình nón có 3 cạnh bằng nhau. Do tam giác đều có 3 góc bằng nhau và bằng 60 độ, ta có thể tính được bán kính đáy R của hình nón.

Trong tam giác đều, ta có công thức tính bán kính đáy R:
R = a√3

Sau đó, ta tính diện tích xung quanh của hình nón:
Diện tích xung quanh = πRl
Trong đó, l là độ dài đường sinh của hình nón. Ta có thể tính l bằng cách sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông có cạnh huyền là chiều cao của hình nón và 1/2 đường chu vi của đáy hình nón:
l = √(3a)^2 + (2πR)^2
l = √(9a^2 + 4π^2R^2)

Thay giá trị R = a√3 vào công thức trên, ta tính được l:
l = √(9a^2 + 4π^2(a√3)^2)
l = √(9a^2 + 12π^2a^2)
l = √(9a^2 + 12π^2a^2)
l = √(9a^2 + 36π^2a^2)
l = √(9 + 36π^2)a

Sau đó, thay giá trị l và R vào công thức diện tích xung quanh của hình nón, ta tính được diện tích xung quanh của hình nón:
Diện tích xung quanh = πRl
Diện tích xung quanh = π(a√3)√(9 + 36π^2)a
Diện tích xung quanh = πa^2√3√(9 + 36π^2)
Diện tích xung quanh = πa^2√(27 + 108π^2)

Vậy diện tích xung quanh của hình nón đã cho là πa^2√(27 + 108π^2) đơn vị diện tích.