Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh rằng \( A < \frac{25}{36} \), ta cần so sánh giá trị của \( A \) với \( \frac{25}{36} \).

Trước tiên, chúng ta thấy mẫu số của các phân số trong \( A \) là các bình phương của các số nguyên từ 2 đến 1000. Ta có thể viết lại \( A \) như sau:

\[ A = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots + \frac{1}{1000^2} \]

Tiếp theo, chúng ta sử dụng một tính chất quen thuộc của các số nguyên dương, đó là \( \frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)} \) đối với mọi \( n > 1 \).

Do đó:

\[ A = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{1000^2} < \frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{1}{3 \cdot 2} + \frac{1}{4 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{1000 \cdot 999} \]

\[ = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{999} - \frac{1}{1000}\right) = 1 - \frac{1}{1000} \]

\[ = \frac{999}{1000} < \frac{999}{1000} + \frac{1}{1000} = 1 \]

Vậy \( A < 1 \).

Ta cũng biết rằng \( \frac{25}{36} = 0.6944... < 1 \).

Vì vậy, ta kết luận được rằng \( A < \frac{25}{36} \).

...Xem thêm

Answer 2

Để chứng minh rằng \( A < \frac{25}{36} \), ta cần so sánh giá trị của \( A \) với \( \frac{25}{36} \).

Trước tiên, chúng ta thấy mẫu số của các phân số trong \( A \) là các bình phương của các số nguyên từ 2 đến 1000. Ta có thể viết lại \( A \) như sau:

\[ A = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots + \frac{1}{1000^2} \]

Tiếp theo, chúng ta sử dụng một tính chất quen thuộc của các số nguyên dương, đó là \( \frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)} \) đối với mọi \( n > 1 \).

Do đó:

\[ A = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{1000^2} < \frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{1}{3 \cdot 2} + \frac{1}{4 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{1000 \cdot 999} \]

\[ = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{999} - \frac{1}{1000}\right) = 1 - \frac{1}{1000} \]

\[ = \frac{999}{1000} < \frac{999}{1000} + \frac{1}{1000} = 1 \]

Vậy \( A < 1 \).

Ta cũng biết rằng \( \frac{25}{36} = 0.6944... < 1 \).

Vì vậy, ta kết luận được rằng \( A < \frac{25}{36} \).

Answer 3

Trước tiên, chúng ta thấy mẫu số của các phân số trong A� là các bình phương của các số nguyên từ 2 đến 1000. Ta có thể viết lại A� như sau:

A=122+132+…+110002�=122+132+…+110002

Tiếp theo, chúng ta sử dụng một tính chất quen thuộc của các số nguyên dương, đó là 1n2<1n(n−1)1�2<1�(�−1) đối với mọi n>1�>1.

Do đó:

A=122+132+142+…+110002<12⋅1+13⋅2+14⋅3+…+11000⋅999�=122+132+142+…+110002<12⋅1+13⋅2+14⋅3+…+11000⋅999

=(1−12)+(12−13)+(13−14)+…+(1999−11000)=1−11000=(1−12)+(12−13)+(13−14)+…+(1999−11000)=1−11000

=9991000<9991000+11000=1=9991000<9991000+11000=1

Vậy A<1�<1.

Ta cũng biết rằng 2536=0.6944...<12536=0.6944...<1.

Vì vậy, ta kết luận được rằng A<2536�<2536.

2 câu trả lời 2198

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 7