Để chứng minh rằng \(A=(x-y)(x-2y)(x-3y)(x-4y) + y^4\) là số chính phương với mọi \(x, y\) thuộc \( \mathbb{Z} \), chúng ta sẽ thực hiện phân tích biểu thức \(A\) và kiểm tra xem nó có thể biểu diễn dưới dạng bình phương của một số nguyên hay không.

Bắt đầu bằng cách phân tích \(A\):

\[ A = (x-y)(x-2y)(x-3y)(x-4y) + y^4 \]

Ở đây, ta thấy mỗi nhân tử trong dấu ngoặc là một số nguyên, vì \(x\) và \(y\) là số nguyên. Hơn nữa, \(y^4\) cũng là một số nguyên.

Khi nhân các số nguyên với nhau, kết quả vẫn là một số nguyên. Vậy nên \(A\) là tổng của một số nguyên (\((x-y)(x-2y)(x-3y)(x-4y)\)) và một số nguyên (\(y^4)\). 

Do đó, \(A\) là một số nguyên. Mục tiêu là chứng minh rằng \(A\) là số chính phương.

Để kiểm tra xem \(A\) có phải là số chính phương hay không, chúng ta có thể thực hiện kiểm tra bằng cách tính căn bậc 2 của \(A\). Nếu kết quả là một số nguyên, thì \(A\) là số chính phương.

\[ \sqrt{A} = \sqrt{(x-y)(x-2y)(x-3y)(x-4y) + y^4} \]

Vì \(A\) đã được chứng minh là một số nguyên, nên \(\sqrt{A}\) sẽ là một số thực.

Tóm lại, \(A\) là một số nguyên và \(\sqrt{A}\) là một số thực, điều này có nghĩa là \(A\) không phải là số chính phương.