a)

$$\begin{gathered} \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left(1-3;-1-\left(-1\right)\right)=\left(-2;0\right) \\ \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(4-1;2-\left(-1\right)\right)=\left(3;3\right) \\ \Rightarrow \mathrm{AB}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+0^2}=2 \\ \mathrm{BC}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2} \\ \mathrm{b}, \\ \mathrm{ABCD} \mathrm{là} \mathrm{hình} \mathrm{bình} \mathrm{hành} \\ \Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{DC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}4-{\mathrm{x}}_{\mathrm{D}}=-2\\ 2-{\mathrm{y}}_{\mathrm{D}}=0\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_{\mathrm{D}}=6\\ {\mathrm{y}}_{\mathrm{D}}=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy D (6;2)

A. Tính độ dài các cạnh \( \mathrm{AB}, \mathrm{BC} \):

1. Độ dài \( \mathrm{AB} \):

   \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]

   \[ AB = \sqrt{(1 - 3)^2 + (-1 - (-1))^2} \]

   \[ AB = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} \]

   \[ AB = \sqrt{4} \]

   \[ AB = 2 \]

2. Độ dài \( \mathrm{BC} \):

   \[ BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} \]

   \[ BC = \sqrt{(4 - 1)^2 + (2 - (-1))^2} \]

   \[ BC = \sqrt{3^2 + 3^2} \]

   \[ BC = \sqrt{18} \]

   \[ BC = 3\sqrt{2} \]

B. Tìm toạ độ điểm \( \mathrm{D} \) để tứ giác \( \mathrm{ABCD} \) là hình bình hành:

Vì \( \mathrm{ABCD} \) là hình bình hành, nên vector \( \overrightarrow{AD} \) bằng vector \( \overrightarrow{BC} \).

\[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \]

\[ (x_D - x_A, y_D - y_A) = (x_C - x_B, y_C - y_B) \]

Thay vào đó các giá trị đã biết:

\[ (x_D - 3, y_D + 1) = (4 - 1, 2 - (-1)) \]

\[ (x_D - 3, y_D + 1) = (3, 3) \]

Giải hệ phương trình này để tìm \( x_D \) và \( y_D \):

\[ x_D - 3 = 3 \Rightarrow x_D = 6 \]

\[ y_D + 1 = 3 \Rightarrow y_D = 2 \]

Vậy toạ độ của điểm \( \mathrm{D} \) là \( (6, 2) \).