Để tính thể tích \(V\) của lượng nước tràn ra, chúng ta cần tìm thể tích của thùng gỗ và lượng nước mà thùng gỗ làm tràn ra khỏi bể.

Bước 1: Tính thể tích của thùng gỗ
Thể tích của thùng gỗ hình lập phương có cạnh bằng \(8 \, \text{dm}\) là:
\[V_{\text{thùng}} = \text{cạnh}^3 = 8^3 = 512 \, \text{dm}^3\]

Bước 2: Tính thể tích lượng nước tràn ra
Để tính thể tích nước tràn ra, chúng ta cần tìm thể tích phần chồng lấn giữa thùng gỗ và bể.

1. Tính thể tích phần lấn chồng lên giữa thùng và bể:

- Bán kính của bể là \(4 \, \text{dm}\).
- Chiều cao của bể là \(10 \, \text{dm}\).
- Đường chéo dài nhất của thùng hình lập phương là đường chéo của hình trụ.

Đường chéo của hình trụ \(= \sqrt{\text{bán kính}^2 + \text{chiều cao}^2}\)

Đường chéo của hình trụ \(= \sqrt{4^2 + 10^2} = \sqrt{16 + 100} = \sqrt{116}\) (đơn vị dm).

2. Thể tích nước tràn ra bằng sự chồng lấn giữa hình lập phương và phần không gian của hình trụ:

Thể tích nước tràn ra \(= V_{\text{bể}} - V_{\text{thùng}}\)

\(V_{\text{bể}} = \pi r^2 h = \pi \times 4^2 \times 10 = 160 \pi \, \text{dm}^3\)

\(V_{\text{tràn ra}} = 160 \pi - 512 = 160 \pi - 512 \approx 507.79 \, \text{dm}^3\)

Kết quả
Vậy thể tích của lượng nước tràn ra là khoảng \(507.79 \, \text{dm}^3\).