Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh (a) và (b), ta sử dụng một số tính chất của hình bình hành và tam giác. Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng minh (a):

(a) Tứ giác ACK là hình bình hành:

Để chứng minh rằng tứ giác ACK là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng các cạnh của nó đều bằng nhau và các góc đối diện bằng nhau.

Ta biết rằng E là trung điểm của CD, nên CE = ED.
K là trung điểm của AB, nên AK = KB.
Vì ABCD là hình bình hành, nên AC và BD là các đường chéo của hình bình hành. Chúng gặp nhau tại một điểm O nằm giữa chúng.
Vậy ta có:

CE = ED (1) AK = KB (2) AO = OC (3)

Giờ ta cần chứng minh rằng các góc đối diện của tứ giác ACK bằng nhau:

Ta biết rằng các góc ở đỉnh C và K là bằng nhau, vì CE // AB và AK // CD.
Ta cũng biết rằng các góc ở đỉnh A và C là bằng nhau, vì ABCD là hình bình hành.
Như vậy, tứ giác ACK có cạnh đối diện bằng nhau và các góc đối diện bằng nhau, nên nó là một hình bình hành.

(b) 3 điểm E, O, K thẳng hàng:

Để chứng minh rằng 3 điểm E, O, K thẳng hàng, ta sẽ sử dụng định lí Ceva trong tam giác ABC và tam giác ABD.

Theo định lí Ceva, ta có:

=1OCAO⋅KBCK⋅EABE=1

Nhưng ta đã biết AO = OC (do O nằm ở giữa AC), AK = KB (do K là trung điểm của AB), và CE = ED (do E là trung điểm của CD). Vì vậy, phương trình trên trở thành:

1⋅1⋅1=11⋅1⋅1=1

Vậy, theo định lí Ceva, 3 điểm E, O, K thẳng hàng.

...Xem thêm

Answer 2