a) Để tính giá trị của biểu thức P = (1 - 3cos a)(1 + 3cos a), ta sẽ sử dụng công thức:

P = 1 - (3cos a)^2

Với sin a = 2/3, ta có cos a = √(1 - sin^2 a) = √(1 - (2/3)^2) = √(1 - 4/9) = √(5/9) = √5/3.

Thay vào công thức, ta có:

P = 1 - (3 * (√5/3))^2
= 1 - (3 * √5/3)^2
= 1 - (√5)^2
= 1 - 5
= -4

Vậy giá trị của biểu thức P là -4.

b) Với cos a = 12/13, ta có sin a = √(1 - cos^2 a) = √(1 - (12/13)^2) = √(1 - 144/169) = √(25/169) = 5/13.

Để tính tan(a - 45°), ta sẽ sử dụng công thức:

tan(a - 45°) = (tan a - tan 45°) / (1 + tan a * tan 45°)

Với a trong khoảng -90° < a < 0°, ta có a - 45° cũng thuộc khoảng này.

Thay các giá trị vào công thức, ta có:

tan(a - 45°) = (tan a - 1) / (1 + tan a)

Vậy sina = 5/13, cosa = 12/13, và tan(a - 45°) = (tan a - 1) / (1 + tan a).

c) Với tan a = -3, ta có:

sin a = tan a * cos a = -3 * (√(1 - tan^2 a)) = -3 * (√(1 - (-3)^2)) = -3 * (√(1 - 9)) = -3 * (√(-8)) = -3 * i√8 = -3√2i.

Để tính sin2a, ta sử dụng công thức:

sin2a = 2 * sin a * cos a

Thay giá trị vào công thức, ta có:

sin2a = 2 * (-3√2i) * (√(1 - tan^2 a))
= -6√2i * (√(1 - (-3)^2))
= -6√2i * (√(1 - 9))
= -6√2i * (√(-8))
= -6√2i * i√8
= -6√2i * i * 2√2
= -12 * 2 * √2 * √2 * i * i
= -48i.

Để tính cos(a - π/3), ta sử dụng công thức:

cos(a - π/3) = cos a * cos(π/3) + sin a * sin(π/3)

Với cos(π/3) = 1/2 và sin(π/3) = √3/2, ta có:

cos(a - π/3) = cos a * (1/2) + sin a * (√3/2)
= (-3) * (1/2) + (-3√2i) * (√3/2)
= -3/2 - 3√2i * √3/2
= -3/2 - 3√6i/2
= (-3 - 3√6i)/2.

Vậy sin2a = -48i và cos(a - π/3) = (-3 - 3√6i)/2.

d) Với sina = √5/5, ta có:

cosa = √(1 - sin^2 a) = √(1 - (√5/5)^2) = √(1 - 5/25) = √(20/25) = √4/5 = 2/√5 = 2√5/5.