Bắt đầu bằng việc tìm đạo hàm của \( y \) theo \( x \):

\( y = 2\cos^2x + x \)

\( y' = \frac{dy}{dx} \)

Sử dụng quy tắc dẫn xuất cho hàm lượng giác, ta có:

\( \frac{d(\cos^2x)}{dx} = 2\cos x (-\sin x) = -2\cos x \sin x \)

Nên:

\( y' = -2\cos x \sin x + 1 \)

\( = -\sin(2x) + 1 \) (sử dụng công thức \( \sin(2x) = 2\cos x \sin x \))

Để tìm các điểm mà \( y' = 0 \):

\( -\sin(2x) + 1 = 0 \)

\( \sin(2x) = 1 \)

Đối với \( x \) trong khoảng \( [0, \pi/2] \), \( 2x \) sẽ thuộc khoảng \( [0, \pi] \). Giá trị duy nhất của \( x \) mà \( \sin(2x) = 1 \) là \( x = \pi/4 \).

Vậy, x = \( \pi/4 \) là một điểm cực đại hoặc cực tiểu.

Để xác định nó là điểm cực đại hay cực tiểu, chúng ta có thể sử dụng phương pháp kiểm tra dấu của đạo hàm hoặc đạo hàm cấp hai:

Nếu \( y'' > 0 \) tại \( x = \pi/4 \), thì đó là điểm cực tiểu. Ngược lại, nếu \( y'' < 0 \), thì đó là điểm cực đại.

\( y'' = \frac{d^2y}{dx^2} \)
\( y'' = \frac{d(-\sin(2x) + 1)}{dx} \)
\( y'' = -2\cos(2x) \)

Tại \( x = \pi/4 \):
\( y'' = -2\cos(\pi/2) = 0 \)

Vì \( y'' \) tại \( x = \pi/4 \) bằng 0, chúng ta không thể sử dụng phương pháp kiểm tra dấu của đạo hàm cấp hai để xác định nó là cực đại hay cực tiểu. Tuy nhiên, chúng ta có thể kiểm tra giá trị của hàm số tại \( x = 0, x = \pi/4, \) và \( x = \pi/2 \) để xác định GTLN.

Kết quả là:
y(0) = 2
y(\( \pi/4 \)) = 2(1/2) + \( \pi/4 \) = 1 + \( \pi/4 \)
y(\( \pi/2 \)) = \( \pi/2 \)

Trong số này, giá trị lớn nhất là y(\( \pi/4 \)), vì vậy GTLN của hàm số trong khoảng \( [0, \pi/2] \) đạt được tại \( x = \pi/4 \).