a) **Chứng minh AMHN là hình chữ nhật:**
- Ta có \( \angle MAH = \angle HAN = 90^\circ \) (do đường cao)
- \( \angle HMN = 90^\circ \) (do HM, HN vuông góc với AB, AC)
- Vì \( AH \) là đường cao của tam giác ABC vuông tại A nên \( AH \perp BC \).
- \( \therefore HM \parallel AC \) và \( HN \parallel AB \) (cùng vuông góc với \( AH \))
- Từ đó, \( HM \parallel NA \) và \( NH \parallel MA \) (cắt nhau bởi \( AH \))
- Kết hợp tất cả, ta có AMHN là hình chữ nhật.

b) **Chứng minh 3 điểm M, O, N thẳng hàng:**
- \( AO = \frac{1}{2} AH \) (vì O là trung điểm)
- Do tam giác AHB vuông tại A nên \( AB^2 + AH^2 = BH^2 \) (định lý Pythagoras)
- Lấy mỗi bên nhân 2 và chia đôi ta có:
\[ AO^2 + AM^2 = \frac{1}{2} BH^2 \]
- Tương tự, \( AO^2 + AN^2 = \frac{1}{2} CH^2 \)
- Do đó, \( AM = AN \)
- Vậy, \( M \) và \( N \) cùng nằm trên một đường thẳng song song với \( BC \) và cách \( AH \) một khoảng cách bằng nhau.
- \( \therefore M, O, N \) thẳng hàng.

c) **Chứng minh \( AC \parallel HK \):**
- Vì I là trung điểm của HC nên \( HI = \frac{1}{2} AC \).
- AK cắt HC tại I nên \( AI = IK \).
- Như vậy, \( HK = AI + IK = 2AI = AC \).
- \( \angle AIK = \angle AIC = 90^\circ \) (do AH là đường cao)
- Vậy, \( AC \parallel HK \) (cùng vuông góc với AI).

d) **Chứng minh MNCK là hình thang cân:**
- Ta đã biết \( HM \parallel NA \) và \( NH \parallel MA \).
- \( \therefore HM \parallel CK \) và \( HN \parallel MC \) (do cùng vuông góc với \( AH \))
- Do đó, MNCK là hình thang.
- Vì \( MN \perp AH \) và \( CK \perp AH \) nên \( MN = CK \).
- \( \therefore MNCK \) là hình thang cân.

e) **Chứng minh D là trọng tâm của tam giác AHC và \( AK = 3HD \):**
- D là trọng tâm nên \( AD \) chia \( HC \) thành 2 phần tỷ lệ 2:1.
- Vì \( I \) là trung điểm của \( HC \) nên \( HI = \frac{1}{2} HC \) và \( IC = \frac{1}{2} HC \).
- Từ đó, \( AD = 2HD \) và \( AK = AD + DK = 3HD \).