Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = x + √(1 - x²), chúng ta cần xác định miền giá trị hợp lệ của x trước. Hàm số này sẽ có giá trị GTNN và GTLN trong miền giá trị đó.

Điều kiện cần để hàm số hợp lệ là phải thỏa mãn điều kiện dưới căn bậc hai:

1 - x² ≥ 0

Điều này xảy ra khi và chỉ khi:

x² ≤ 1

Điều này có nghĩa là miền giá trị của x là -1 ≤ x ≤ 1.

Bây giờ, để tìm GTLN và GTNN, chúng ta sẽ tính đạo hàm của hàm số và tìm điểm cực trị:

Hàm số: y = x + √(1 - x²)

Đạo hàm của hàm số theo x là:

y' = 1 - (1 - x²)^(-1/2)

Để tìm các điểm cực trị, chúng ta giải phương trình:

1 - (1 - x²)^(-1/2) = 0

(1 - x²)^(-1/2) = 1

Bình phương cả hai bên:

1 - x² = 1

x² = 0

Vậy, điểm cực trị duy nhất của hàm số nằm ở x = 0.

Bây giờ, chúng ta tính giá trị tương ứng của y tại x = 0:

y(0) = 0 + √(1 - 0) = 1

Vậy, GTNN của hàm số là 1 (đạt được tại x = 0), và GTLN là không xác định vì hàm số không có giá trị tối đa trong miền giá trị đã xác định (-1 ≤ x ≤ 1).