Để xét tính đơn điệu của hàm \(y = \frac{x - 1}{x + 2}\), bạn có thể tìm đạo hàm của hàm số này và xem dấu của đạo hàm trên một khoảng xác định.

Bước 1: Tính đạo hàm của \(y\):

\[y = \frac{x - 1}{x + 2}\]

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm hàm hợp, ta có:

\[y' = \frac{(x + 2)(1) - (x - 1)(1)}{(x + 2)^2} = \frac{3}{(x + 2)^2}\]

Bước 2: Xác định khoảng xác định trên đó ta muốn kiểm tra tính đơn điệu. Hãy xem xét hai khoảng: \(x < -2\) và \(x > -2\), bởi vì \(x + 2\) sẽ thay đổi dấu tại \(x = -2\).

Bước 3: Xem dấu của đạo hàm trên từng khoảng:

- Khi \(x < -2\), \(x + 2\) là số âm, vì vậy \((x + 2)^2\) sẽ luôn dương. Vì vậy, \(y' = \frac{3}{(x + 2)^2}\) sẽ luôn dương trên khoảng này.

- Khi \(x > -2\), \(x + 2\) là số dương, \((x + 2)^2\) sẽ vẫn dương. Vì vậy, \(y' = \frac{3}{(x + 2)^2}\) cũng sẽ luôn dương trên khoảng này.

Từ đó, ta kết luận rằng hàm \(y = \frac{x - 1}{x + 2}\) là một hàm đơn điệu tăng trên toàn miền xác định của nó.