1. \( AB = \frac{2}{3}CD \)
2. \( AE = \frac{1}{2}EC \)
3. \( KH \parallel AC \)
4. \( S(GDF) - S(KHH) = 9 \, \text{cm}^2 \)

Chúng ta cần tìm \( S(ABCD) \).

Đầu tiên, hãy biểu diễn các kích thước và thông tin trên hình. Cần lưu ý rằng \( KH \parallel AC \) cho biết KH là đường song song với cả hai cạnh bên của hình thang và chia hình thang thành hai hình thang nhỏ hơn. Đặt \( KH = x \) và \( GD = y \), vậy \( AC = x + y \).

Do \( AE = \frac{1}{2}EC \), và vì \( AE + EC = AC \) nên \( AE = \frac{1}{3}AC \) và \( EC = \frac{2}{3}AC \). Vì vậy, \( AE = \frac{1}{3}(x + y) \) và \( EC = \frac{2}{3}(x + y) \).

Dựa vào định lý diện tích, ta có:
\[ S(GDF) - S(KHH) = \frac{1}{2} \cdot y \cdot (CD - AB) - \frac{1}{2} \cdot x \cdot (CD - AB) \]
\[ \Rightarrow S(GDF) - S(KHH) = \frac{1}{2} \cdot (CD - AB) \cdot (y - x) \]

Sử dụng thông tin đã biết \( S(GDF) - S(KHH) = 9 \, \text{cm}^2 \), ta có:
\[ \frac{1}{2} \cdot (CD - AB) \cdot (y - x) = 9 \]
\[ \Rightarrow (CD - AB) \cdot (y - x) = 18 \] (i)