Hàm số y = mx^3 + mx^2 + m(m-1)x + 2 đồng biến trên R khi và chỉ khi đạo hàm của nó là không âm trên R.

Bắt đầu bằng việc tính đạo hàm của hàm số này:
y' = 3mx^2 + 2mx + m(m-1)

Để hàm số này không âm trên R, ta cần xác định điều kiện cho các giá trị của m sao cho đạo hàm này không bao giờ nhỏ hơn 0 trên R. Điều này có nghĩa rằng đạo hàm không được có bất kỳ nghiệm nào trong R.

Để đảm bảo điều này, ta cần tìm điều kiện để đạo hàm không có nghiệm thực nào. Điều này tương đương với việc giải phương trình bậc hai sau đây:

3mx^2 + 2mx + m(m-1) = 0

Sử dụng công thức giải phương trình bậc hai, ta có:

x = (-2m ± √(4m^2 - 12m(m-1))) / (6m)

Giải bất phương trình để xác định điều kiện để phương trình trên không có nghiệm thực:

4m^2 - 12m(m-1) < 0

Simplify bất phương trình này:

4m^2 - 12m^2 + 12m < 0

-8m^2 + 12m < 0

4m^2 - 6m > 0

2m(2m - 3) > 0

Bây giờ, ta phân tích điều kiện này thành các khoảng dương và âm:

1. 2m > 0 và 2m - 3 > 0 (cả hai đều dương)
=> m > 0 và m > 3/2

2. 2m < 0 và 2m - 3 < 0 (cả hai đều âm)
=> m < 0 và m < 3/2

Vậy, m nằm trong khoảng (-∞, 0) và (3/2, ∞). Có vô số giá trị nguyên m thỏa mãn điều kiện này.