a) Để chứng minh tam giác CMP = tam giác MBN, ta có thể sử dụng định lý góc so le trong. Theo định lý này, nếu hai tam giác có một cặp góc so le bằng nhau và một cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau. Trong trường hợp này, ta có:

- Góc CMP = góc MBN (do cùng bằng 90 độ)

- CM = MB (do M là trung điểm của BC)

Vì vậy, theo định lý góc so le trong, ta có thể kết luận rằng tam giác CMP = tam giác MBN.

b) Để chứng minh APMN là hình chữ nhật, ta có thể sử dụng định lý góc so le ngoài. Theo định lý này, nếu một tứ giác có một cặp góc đối diện bằng nhau thì tứ giác đó là hình chữ nhật. Trong trường hợp này, ta có:

- Góc PAM = góc NAM (do cùng bằng 90 độ)

Vì vậy, theo định lý góc so le ngoài, ta có thể kết luận rằng APMN là hình chữ nhật. Từ đó suy ra N là trung điểm AB và P là trung điểm AC.

c) Để chứng minh AMCQ là hình thoi, ta có thể sử dụng định lý hai đường chéo của hình thoi. Theo định lý này, nếu một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau vuông góc và chia nhau thành hai đoạn bằng nhau thì tứ giác đó là hình thoi. Trong trường hợp này, ta có:

- Đường chéo AC cắt đường chéo MQ vuông góc tại P (do P là trung điểm MQ)

- AP = PC (do P là trung điểm AC)

Vì vậy, theo định lý hai đường chéo của hình thoi, ta có thể kết luận rằng AMCQ là hình thoi.

d) Nếu tam giác ABC vuông cân tại A, tức là AB = AC, thì AMCQ vẫn là một hình thoi. Tuy nhiên, trong trường hợp này, AMCQ không phải là một hình vuông. Điều này có thể được chứng minh bằng cách xét góc AMQ của hình thoi. Do AMQ là một góc nội tiếp của tam giác ABC vuông tại A và AMQ không phải là góc vuông, nên AMQ không phải là góc vuông. Vì vậy, AMCQ không phải là một hình vuông.