a) Tứ giác BCMN là hình thang:
Ta biết rằng đường phân giác của góc B cắt AC tại M. Và ta có đường thẳng MN là đường vuông góc với đường AH (vì NM kẻ từ M vuông góc với AH).

Vì AM là đoạn thẳng nối giữa trung điểm của BC (do M là điểm chia đôi AC) và góc phân giác góc B, nên AM cắt BC ở giữa.

Do đó, theo định lý chia đôi, ta có BM = MC.

Khi đó, tứ giác BCMN là hình thang với BM = MC.

b) BN = MN:
Từ (a), chúng ta biết tứ giác BCMN là hình thang với BM = MC. Và do đường NM vuông góc với đường AH, nên tam giác AMN cũng là tam giác vuông.

Do đó, theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông AMN, ta có:

AN^2 + BM^2 = AM^2

Vì BM = MC (theo phần a), nên ta có:

AN^2 + MC^2 = AM^2

Nhưng ta biết AM cắt BC ở giữa (do M là điểm chia đôi AC), nên theo định lý chia đôi, ta có:

AN = NC

Vì vậy, ta có:

NC^2 + MC^2 = AM^2

Nhưng ta cũng biết rằng MC = BM (từ phần a).

Vì vậy, ta có:

NC^2 + BM^2 = AM^2

Nhưng AMN là tam giác vuông, nên theo định lý Pythagoras, ta có:

AN^2 + MN^2 = AM^2

Từ đây, ta có thể thấy rằng:

NC^2 + BM^2 = AN^2 + MN^2

Và do NC = AN, nên ta có:

BM^2 = MN^2

Vậy ta đã chứng minh được rằng BN = MN.

a) Tứ giác BCMN là hình thang:
có  đường phân giác của góc B cắt AC tại M. Và ta có đường thẳng MN là đường vuông góc với đường AH (vì NM kẻ từ M vuông góc với AH).

Vì AM là đoạn thẳng nối giữa trung điểm của BC (do M là điểm chia đôi AC) và góc phân giác góc B, nên AM cắt BC ở giữa.

Do đó, ta có BM = MC.

Khi đó, tứ giác BCMN là hình thang với BM = MC.

b)
Theo a có  tứ giác BCMN là hình thang với BM = MC. Và do đường NM vuông góc với đường AH, nên tam giác AMN cũng là tam giác vuông.

Do đó, theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông AMN, ta có:

AN^2 + BM^2 = AM^2

Vì BM = MC (theo phần a), nên ta có:

AN^2 + MC^2 = AM^2

Nhưng ta biết AM cắt BC ở giữa (do M là điểm chia đôi AC), nên theo định lý chia đôi, ta có:

AN = NC

Vì vậy, ta có:

NC^2 + MC^2 = AM^2

Nhưng ta cũng biết rằng MC = BM (từ phần a).

Vì vậy, ta có:

NC^2 + BM^2 = AM^2

Nhưng AMN là tam giác vuông, nên theo định lý Pythagoras, ta có:

AN^2 + MN^2 = AM^2

Từ đây, ta có thể thấy rằng:

NC^2 + BM^2 = AN^2 + MN^2

Và do NC = AN, nên ta có:

BM^2 = MN^2

Vậy ta đã chứng minh được rằng BN = MN.