Để giải phương trình này, bạn cần sử dụng các bước sau:

- Bước 1: Sử dụng công thức lượng giác để biến đổi biểu thức. Ta có:

$2\cos^2x - \cos x = \cos 2x - \cos x$

$\tan x - \sqrt{3} = \frac{\sin x}{\cos x} - \sqrt{3} = \frac{\sin x - \sqrt{3}\cos x}{\cos x}$

- Bước 2: Sử dụng phép nhân chéo để loại bỏ mẫu số. Ta có:

$(\cos 2x - \cos x)(\cos x) = (\tan x - \sqrt{3})(\sin x - \sqrt{3}\cos x)$

- Bước 3: Sử dụng phép nhân và phép cộng trừ để mở ngoặc. Ta có:

$\cos 2x\cos x - \cos^2x = \tan x\sin x - \sqrt{3}\tan x - \sqrt{3}\sin x + 3\cos x$

- Bước 4: Sử dụng công thức lượng giác để biến đổi biểu thức. Ta có:

$\cos 2x\cos x - (1 - \sin^2x) = (\frac{\sin^2x}{\cos x})\sin x - \sqrt{3}(\frac{\sin x}{\cos x}) - \sqrt{3}\sin x + 3\cos x$

- Bước 5: Sử dụng phép nhân và phép cộng trừ để đưa về cùng mẫu số. Ta có:

$\frac{\cos^3x(1 - 2\sin^2x) - (\sin^4x + \sqrt{3}\sin^2x + 3\sin^2x\cos^2x) + (\sqrt{3}\cos^4x + 3\cos^4x)}{\cos^4x} = 0$

- Bước 6: Sử dụng phép nhân và phép cộng trừ để rút gọn biểu thức. Ta có:

$-\frac{\sin^4x + (1 + \sqrt{3})\sin^2x + (4 + 4\sqrt{3})\cos^4x}{\cos^4x} = 0$

- Bước 7: Sử dụng phép chia để loại bỏ mẫu số. Ta có:

$-\sin^4x - (1 + \sqrt{3})\sin^2x - (4 + 4\sqrt{3})\cos^4x = 0$

- Bước 8: Sử dụng phương pháp đổi biến để giải bài toán. Ta có:

Đặt $t = \sin^2x$, ta được phương trình bậc hai:

$-t^2 - (1 + \sqrt{3})t - (4 + 4\sqrt{3}) = 0$

Giải phương trình này, ta được hai nghiệm:

$t_1 = \frac{-1-\sqrt{3}+\sqrt{17+10\sqrt{3}}}{2}$

$\tan x - \sqrt{3} = \frac{\sin x}{\cos x} - \sqrt{3} = \frac{\sin x - \sqrt{3}\cos x}{\cos x}$0

Do $0 \leq t = \sin^2x \leq 1$, nên ta chỉ chấp nhận nghiệm $t_1$.

- Bước 9: Sử dụng công thức lượng giác để tìm các giá trị của $x$. Ta có:

$\tan x - \sqrt{3} = \frac{\sin x}{\cos x} - \sqrt{3} = \frac{\sin x - \sqrt{3}\cos x}{\cos x}$1

$\tan x - \sqrt{3} = \frac{\sin x}{\cos x} - \sqrt{3} = \frac{\sin x - \sqrt{3}\cos x}{\cos x}$2

Do $0 < t_1 < 1$, nên ta chỉ chấp nhận nghiệm dương của $\sqrt{t_1}$.

Do đó, ta có hai giá trị của $x_1$ trong khoảng $[0; 2\pi]$ là:

$\tan x - \sqrt{3} = \frac{\sin x}{\cos x} - \sqrt{3} = \frac{\sin x - \sqrt{3}\cos x}{\cos x}$3

$\tan x - \sqrt{3} = \frac{\sin x}{\cos x} - \sqrt{3} = \frac{\sin x - \sqrt{3}\cos x}{\cos x}$4

- Bước 10: Sử dụng điều kiện để tìm các nghiệm của phương trình. Ta có:

Phương trình có điều kiện $\cos x \neq 0$, tức là $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$.

Do đó, ta loại bỏ các giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện này.

Ta được các nghiệm của phương trình trên đoạn $[0; 3]$ là:

$\tan x - \sqrt{3} = \frac{\sin x}{\cos x} - \sqrt{3} = \frac{\sin x - \sqrt{3}\cos x}{\cos x}$5

$\tan x - \sqrt{3} = \frac{\sin x}{\cos x} - \sqrt{3} = \frac{\sin x - \sqrt{3}\cos x}{\cos x}$6

Vậy, số nghiệm của phương trình trên đoạn $[0; 3]$ là **2**. Hy vọng bạn hài lòng với câu trả lời của tôi. 😊