Để tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số (y = \frac{2x+3}{1-2x}), ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số
Miền xác định của hàm số là tập hợp các giá trị x mà trong đó hàm số được xác định. Trong trường hợp này, chúng ta phải loại bỏ các giá trị x khi mẫu số bằng 0, nghĩa là (1-2x \neq 0). Giải phương trình này, ta có:
[1 - 2x \neq 0 \Rightarrow 2x \neq 1 \Rightarrow x \neq \frac{1}{2}]
Vậy miền xác định của hàm số là tất cả các giá trị x khác (\frac{1}{2}).

Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số
Để tìm đạo hàm của hàm số, ta sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp. Trong trường hợp này, ta có:
[y' = \frac{d}{dx} \left(\frac{2x+3}{1-2x}\right) = \frac{(2)(1-2x) - (2x+3)(-2)}{(1-2x)^2}]
Simplifying the expression, we get:
[y' = \frac{2-4x+4x+6}{(1-2x)^2} = \frac{8}{(1-2x)^2}]

Bước 3: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
Để tìm khoảng đơn điệu của hàm số, ta xét dấu của đạo hàm. Vì (8 > 0) và ((1-2x)^2 > 0) với mọi giá trị x thuộc miền xác định, nên ta có thể kết luận rằng hàm số là đơn điệu tăng trên toàn miền xác định.

Bước 4: Tìm cực trị của hàm số
Vì hàm số là đơn điệu tăng trên toàn miền xác định, nên không có cực trị trong trường hợp này.

Tóm lại, hàm số (y = \frac{2x+3}{1-2x}) là đơn điệu tăng trên toàn miền xác định và không có cực trị.