Để tính giá trị của P = sin(alpha/2) * cos(3alpha/2), ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và thông tin đã cho.

Đầu tiên, ta biết rằng cos(alpha) = -4/5. Vì alpha nằm trong khoảng từ pi đến 3pi/2, điều này cho biết cos(alpha) < 0.

Vì cos(alpha) = -4/5, ta có thể suy ra sin^2(alpha) = 1 - cos^2(alpha) = 1 - (-4/5)^2 = 1 - 16/25 = 9/25.
Vì sin(alpha) > 0 (vì alpha nằm trong góc phần tư thứ tư), ta có thể suy ra sin(alpha) = sqrt(9/25) = 3/5.

Tiếp theo, ta tính giá trị của sin(alpha/2) và cos(3alpha/2) bằng cách sử dụng công thức lượng giác nửa góc và ba lần góc:
sin(alpha/2) = sqrt((1 - cos(alpha))/2) = sqrt((1 - (-4/5))/2) = sqrt(9/10) = 3/√10
cos(3alpha/2) = cos(3alpha - alpha/2) = cos(3alpha)cos(alpha/2) - sin(3alpha)sin(alpha/2)

Vì cos(alpha) = -4/5, ta có:
cos(3alpha/2) = cos(3alpha)cos(alpha/2) - sin(3alpha)sin(alpha/2)
= (4cos^3(alpha) - 3cos(alpha))(3/√10) - (3sin(alpha) - 4sin^3(alpha))(3/5)
= (4(-4/5)^3 - 3(-4/5))(3/√10) - (3(3/5) - 4(3/5)^3)(3/5)
= (-256/125 + 12/5)(3/√10) - (9/5 - 108/125)(3/5)
= (-256/125 + 60/25)(3/√10) - (45/25 - 108/125)(3/5)
= (-256/125 + 120/25)(3/√10) - (45/25 - 108/125)(3/5)
= (-256/125 + 120/25)(3/√10) - (225/125 - 216/125)(3/5)
= (-256/125 + 120/25)(3/√10) - (9/125)(3/5)
= (-256/125 + 120/25)(3/√10) - (27/125)(3/5)
= (-256/125 + 120/25)(3/√10) - (81/125)(3/5)
= (-256/125 + 120/25)(3/√10) - (81/125)(3/5)