Ta có:

Để giải phương trình $\cos x + \cos 3x = 0$, chúng ta có thể áp dụng một số bước giải tích và thu gọn đa thức. Dưới đây là các bước giải chi tiết:

1. Sử dụng công thức cộng cosin: $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$, có thể biến đổi phương trình ban đầu thành:

$\cos x + (\cos x \cos 2x - \sin x \sin 2x) = 0$

2. Sử dụng công thức $\cos 2x = 2\cos^2 x-1$ và $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, phương trình trở thành:

$\cos x + (\cos x (2\cos^2 x - 1) - \sin x (2\sin x \cos x)) = 0$

3. Tiếp tục thu gọn đa thức:

$\cos x + (2\cos^3 x - \cos x -2\sin^2 x \cos x) = 0$

4. Kết hợp các thuộc tính giống nhau:

$2\cos^3 x - \cos x -2\sin^2 x \cos x + \cos x = 0$

$2\cos^3 x -2\sin^2 x \cos x = 0$

5. Rút gọn đa thức:

$2\cos x (\cos^2 x - \sin^2 x)= 0$

6. Sử dụng công thức $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$:

$2\cos x \cos 2x = 0$

7. Áp dụng nguyên tắc "Số tích bằng 0":

Theo nguyên tắc trên, ta có hai trường hợp:

- Trường hợp 1: $\cos x = 0$

- Trường hợp 2: $\cos 2x = 0$

8. Giải từng trường hợp:

- Trường hợp 1: $\cos x = 0$

Giải phương trình này, ta tìm giá trị của x trong khoảng từ 0 đến $2\pi$. Các giá trị của x trong khoảng này mà thoả mãn $\cos x = 0$ là $x = \frac{\pi}{2}$ và $x = \frac{3\pi}{2}$.

- Trường hợp 2: $\cos 2x = 0$

Giải phương trình này, ta tìm giá trị của x trong khoảng từ 0 đến $2\pi$. Các giá trị của x trong khoảng này mà thoả mãn $\cos 2x = 0$ là $x = \frac{\pi}{4}$ và $x = \frac{3\pi}{4}$.

Tổng hợp lại, các giá trị của x thoả mãn phương trình $\cos x + \cos 3x = 0$ là $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \frac{3\pi}{2}$, $x = \frac{\pi}{4}$ và $x = \frac{3\pi}{4}$.