a)

Ta có D đối xứng với A qua BC

nên M là trung điểm của AD

và AD ⊥ BC.

Tứ giác ABDC có hai đường chéo AD và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

nên là hình bình hành.

Lại có hai đường chéo AD ⊥ BC

nên hình bình hành ABDC là hình thoi.

b)

Ta có E là trung điểm của AB và OM

nên hai đường chéo của tứ giác OAMB cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Do đó tứ giác OAMB là hình bình hành.

Suy ra OA // BM và OB // AM.

Ta có OB // AM và AM ⊥ BM

nên OB ⊥ BM,

=> DMBO vuông tại B.

Ta có OA // BM và OB ⊥ BM

nên OA ⊥ OB

=> DAOB vuông tại O.

Do OAMB là hình bình hành

nên OA = BM và OB = AM.

Xét DMBO vuông tại B và DAOB vuông tại O có:

OB = AM;

BM = OA

Do đó DMBO = DAOB (hai cạnh góc vuông).

Bài toán này có thể giải quyết bằng cách sử dụng tính chất của đối xứng và hình học tam giác.

A) Ta có AB = AD vì tam giác ABCD cân tại A. Do đó, khi lấy điểm D đối xứng với điểm A qua BC, ta sẽ có BD = BC. Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC. Từ đó, ta suy ra:

Tam giác BMD cân tại M.
Góc BMD = 2 * góc BAD (do BD = BA và BM là đường trung trực của AD).
Vậy, tứ giác ABDC là tứ giác cân tại D và có đường chéo BD là trục đối xứng, do đó tứ giác ABDC là hình thoi.
B, Ta có E là trung điểm của AB, O là trung điểm của OM, do đó EO song song với BM và có độ dài bằng một nửa BM. Khi đó, ta có:

OM = 2 * EO (OM là đường chéo của hình vuông OMBE).
Góc AOB = 2 * góc MOB = 2 * góc EOB = góc AMB (do EO song song với BM).
AB = 2 * AE (vì E là trung điểm của AB).
Từ đó, ta suy ra:

Tam giác AOB và MBO là hai tam giác vuông cân tại O.
Hai tam giác AOB và MBO bằng nhau (vì có cạnh góc cùng bằng nhau và cạnh đối góc bằng nhau).
C) Ta có E là trung điểm của AB và F là trung điểm của AC, do đó EF song song với BC và có độ dài bằng một nửa BC. Từ đó, ta suy ra:

Tam giác AEF cân tại E và F.
Góc AEF = góc AFE (do tam giác AEF cân).
AB = 2 * AE = 2 * EF = 2 * FC = 2 * AF (vì E và F lần lượt là trung điểm của AB và AC).
Vậy, tứ giác AEMF là tứ giác cân tại E và F, do đó tứ giác AEMF là hình thoi.