Ta có:

$\int_0^{\ln 2} (2f(x) + e^x) dx = 5$

Đặt $u = f(x)$, ta có $du = f'(x) dx$, suy ra $dx = \frac{du}{f'(x)}$. Thay thế vào định thức ban đầu, ta được:

$\int_0^{\ln 2} (2u + e^x) \frac{du}{f'(x)} = 5$

Đặt $v = x$, ta có $dv = dx$, suy ra $dx = dv$. Thay thế vào định thức trên và sử dụng tính chất đối xứng của nguyên hàm, ta được:

$\int_0^{\ln 2} (2u + e^v) \frac{du}{f'(v)} = 5$

Đặt $F(v) = \int_0^v f(x) dx$, ta có $F'(v) = f(v)$. Sử dụng phương pháp tích phân bằng phép đạo hàm ngược, ta có:

$\int \frac{du}{f'(v)} = \int \frac{d}{dv} \ln |f(v)| dv = \ln |f(v)| + C$

Thay thế vào định thức trên, ta được:

$2\int_0^{\ln 2} u \frac{d}{dv} \ln |f(v)| dv + \int_0^{\ln 2} e^v \frac{d}{dv} \ln |f(v)| dv + \int_0^{\ln 2} e^v dv = 5$

Điều này tương đương với:

$2\int_0^{\ln 2} u \frac{f'(v)}{f(v)} dv + \int_0^{\ln 2} \frac{e^v f'(v)}{f(v)} dv + e^{\ln 2} - 1 = 5$

Hay:

$2\int_0^{\ln 2} \frac{u}{f(v)} df(v) + \int_0^{\ln 2} \frac{e^v}{f(v)} df(v) = 6$

Đặt $g(v) = \frac{1}{f(v)}$, ta có $g'(v) = -\frac{f'(v)}{f^2(v)}$. Thay thế vào định thức trên, ta được:

$-2\int_{f(0)}^{f(\ln 2)} u dg(v) + \int_{f(0)}^{f(\ln 2)} e^v dg(v) = 6$

Tích phân và giải tích phương trình, ta được:

$-2[f(\ln 2) - f(0)] + e^{f(\ln 2)} - e^{f(0)} = 6$

Vì $f(0) = 0$, nên:

$-2f(\ln 2) + 2\int_0^{\ln 2} f(x) dx + e^{f(\ln 2)} - 1 = 6$

Hay:

$2\int_0^{\ln 2} f(x) dx = 7 - e^{f(\ln 2)}$

Vậy, nguyên hàm từ 0 đến $\ln 2$ của $f(x)$ là:

$\int_0^{\ln 2} f(x) dx = \frac{1}{2} (7 - e^{f(\ln 2)})$