Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Ta có OH vuông góc với (ABC) và OH = d(O;(ABC)) = 1/5.

Vì (ABC) vuông góc với § nên vector pháp tuyến của (ABC) cũng phải vuông góc với vector chỉ phương của §, suy ra vector pháp tuyến của (ABC) có dạng (1,k,k) với k là một số thực.

Do đó, ta có hệ phương trình sau:
$\begin{cases} kx+ky+kz=d \ x+b=0 \ y+c=0 \ \end{cases}$

Trong đó, d là một số thực tùy ý.

Từ phương trình của mặt phẳng §, ta có k = -1.

Thay k = -1 vào hệ phương trình trên, ta được:
$\begin{cases} -x+y-z=d-1 \ x+b=0 \ y+c=0 \ \end{cases}$

Giải hệ này, ta được:
$\begin{cases} x=-\frac{b}{2} \ y=-\frac{c}{2} \ z=\frac{b+c+d-1}{2} \ \end{cases}$

Vì điểm H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC) nên vector $\vec{OH}$ cùng phương với vector pháp tuyến của (ABC), suy ra vector pháp tuyến của (ABC) có dạng (b/2,c/2,-1).

Do đó, ta có:
$\frac{b^2}{4}+\frac{c^2}{4}+1^2=\left|\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} b/2 \ c/2 \ -1 \end{pmatrix}\right|^2=\frac{b^2+c^2+1}{4}$

Simplifying the above equation, we get:
$b^2+c^2-2bc=3$

Từ đây, ta có thể suy ra giá trị của biểu thức b+c hoặc b-2c.

$(b+c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc = 3 + 2bc$

$(b-2c)^2 = b^2 + 4c^2 - 4bc = 3 + 4c^2$

Vậy, mệnh đề đúng là: $\mathbf{(D)\ b+c=\frac{\sqrt{3}}{3}}$.
22:07