Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta có $\angle AFE = \angle AKE$ (do $AI$ là trung tuyến của tam giác $AEF$), suy ra $\triangle AFE \sim \triangle AKE$. Từ đó, ta có:

$\dfrac{AF}{AE} = \dfrac{AK}{AE} + 1$

$\Leftrightarrow \dfrac{AF}{AE} = \dfrac{CK}{CE} + 1$

$\Leftrightarrow \dfrac{AF}{AE} = \dfrac{CD}{CE}$

Do đó, ta có $AF = AE.\dfrac{CD}{CE}$.

Gọi $H$ là giao điểm của $EF$ và $AB$. Ta có $\angle EHA = \angle EFA = 90^\circ$, suy ra $EH \parallel CD$. Do đó, $\dfrac{AH}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{AF}{AD} = \dfrac{AE.CD}{AC.AD}$.

Mặt khác, ta có $\triangle AIC \sim \triangle EIG$, suy ra $\dfrac{AG}{AI} = \dfrac{EI}{CI} = \dfrac{AE}{AC}$. Kết hợp với $\dfrac{AH}{AB} = \dfrac{AE.CD}{AC.AD}$, ta có:

$\dfrac{AG}{AI} = \dfrac{AH}{AB}.\dfrac{AC.AD}{AE.CD}$

$\Leftrightarrow \dfrac{AG}{AI} = \dfrac{AE.CD}{AC.AD}.\dfrac{AC-AD}{AE}$

$\Leftrightarrow \dfrac{AG}{AI} = \dfrac{CD}{AD-CD}$

Do đó, ta có $AG = AI.\dfrac{CD}{AD-CD}$.

Mà $AE=AF$, suy ra $\dfrac{AG}{AE} = \dfrac{AI}{AF}.\dfrac{CD}{AD-CD} = \dfrac{IK}{IF}.\dfrac{CD}{AD-CD} = \dfrac{CK}{CE}.\dfrac{CD}{AD-CD} = \dfrac{DK}{DE}$.

Từ đó, ta có tứ giác $EGKF$ là hình thoi (do $EK \parallel FG$ và $EF \parallel KG$).

...Xem thêm

Answer 2