Cho tam giác ABC nhọn có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tam giácBDF đồng dạng tam giác BAC
b) Giả sử góc ABC bằng 60° . Chứng minh : S(ABC)=4.S (BDF)
c) Chứng minh DH là tia phân giác của góc EDF.
Quảng cáo
1 câu trả lời 856
a) Ta có:
Góc AHB và góc AHC là góc vuông (vì AD là đường cao của tam giác ABC).
Góc BHC và góc BHG là góc vuông (vì BE là đường cao của tam giác BHC).
Góc CHB và góc CHF là góc vuông (vì CF là đường cao của tam giác CHB).
Do đó, ta có tứ giác ABHF và BCHD là tứ giác nội tiếp. Từ đó suy ra:
Góc BHF = góc BAC (cùng chắn cung BF trên đường tròn nội tiếp tam giác ABC).
Góc BDF = góc BCF (cùng chắn cung BF trên đường tròn nội tiếp tam giác BCF).
Vậy tam giác BDF đồng dạng với tam giác BAC.
b) Ta có:
Góc ABC = 60 độ.
Góc BDF = góc BCF (đồng dạng tam giác BDF và BAC).
Do đó, ta có: góc BDF = 60 độ.
Góc BFD = 180 độ - góc BDF - góc BCF = 180 độ - 60 độ - (90 độ - góc ABC) = 30 độ.
Góc FBD = 180 độ - góc BDF - góc CBE = 180 độ - 60 độ - (90 độ - góc ABC) = 30 độ.
Vậy tam giác BDF là tam giác đều. Từ đó suy ra: BD = DF = FB.
Do đó, ta có: S(BDF) = 1/2 BD x DF x sin(BDF) = 1/2 FB^2 x sin(60 độ) = 1/4 AB^2 x sin(60 độ) = 1/4 S(ABC).
Vậy S(ABC) = 4.S(BDF).
c) Ta cần chứng minh DH là tia phân giác của góc EDF.
Ta có:
Góc BDF = góc BCF (đồng dạng tam giác BDF và BAC).
Góc CBE = góc ACF (cùng chắn cung CE trên đường tròn nội tiếp tam giác ABC).
Do đó, ta có: góc BCF = góc ACF.
Từ đó suy ra: góc EDF = góc BDF - góc CBE = góc BCF - góc ACF = góc EHF.
Vậy ta có hai góc EDF và EHF bằng nhau, từ đó suy ra DH là tia phân giác của góc EDF.
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
100992
-
Hỏi từ APP VIETJACK51405
-
Cho tam giác MNP vuông tại M,đường cao MH
a, Chứng minh tam giác HMN đồng dạng với tam giác MNP
b, chứng minh hệ thức =NH.PH
c, Lấy điểm E tùy ý trên cạnh MP,vẽ điểm F trên cạnh MN sao cho góc FHE =90 độ. Chứng minh tam giác NFH đồng dạng với tam giác MEH và góc NMH=góc FEH
d,Xác định vị trí điểm E trên MP sao cho diện tích tam giác HEF đạt giá trị nhỏ nhất
43065